Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості
§ 10. Властивості кутів трикутника
344.
∠E = 60°, ∠F = 40°, ∠D = 80°.
∠E + ∠F + ∠D = 60° + 40° + 80° = 180°.
345. На мал. 208 неправильно сказано градусну міру кутів? АВС, оскільки? ABC – прямокутний, a ∠B + ∠C = 40° + 40° = 80° ≠ 90° (так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).
346. Розгорнутий кут ABC утворюють кути ABM, МВО, ОВС. ∠BOM = ∠MBA = 20°, ∠BOM = ∠OBC = 60°. ∠MBO + ∠BOM + ∠OMB = 100° + 60° + 20° = 180°.
347.
348.
349. Мал. 211. ∠B = 180° – ∠А – ∠С = 180° – 70° – 55° = 55°.
Мал. 212. ∠B = 90° – ∠A = 90° – 40° = 50°.
350. 1) 180° – 20° – 40° = 120°;
2) 180° – 100° – 30° = 50°;
3) 180° – 80° – 60° = 40°.
351. 1) Оскільки 70° + 51° + 58° = 179° ≠ 180°, то кути трикутника не можуть дорівнювати 70°, 51°, 58°.
2) Оскільки 42° + 89° + 49° = 180°, то кути трикутника можуть дорівнювати 42°, 89°, 49°.
3) Оскільки 65° + 75° + 41° = 181° ≠ 180°, то кути трикутника не можуть дорівнювати
352. 1) 30° + n + n + 30° = 180°, 2n = 120°, n = 60°. Отже, ∠B = 60°, ∠С = 90°.
2) n + 2n + 72° = 180°, 3n = 108°, n = 36°. Отже, ∠А = 36°, ∠B = 72°.
3) 120° + n + 30° + n = 180°, 2n = 30°, n = 15°. Отже, ∠B = 45°, ∠C = 15°.
353. 1) Трикутник не може мати два прямих кути, оскільки сума трьох кутів була б більша за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
2) Трикутник не може мати два тупих кути, оскільки сума трьох кутів була б більша за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
3) Трикутник не може мати тупий і прямий кут, оскільки сума трьох кутів була б більша за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
354. 1) Кожний кут трикутника не може бути меншим від 60°, оскільки б тоді сума кутів трикутника була б меншою від 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
2) Кожний кут трикутника не може бути більшим за 60°, оскільки б тоді сума кутів трикутника була б більшою за 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника.
355. 1) Третій кут трикутника дорівнює 180° – 30° – 60° = 90°. Отже, гострокутний трикутник не може мати кути 30° і 60°.
2) Третій кут трикутника дорівнює 180° – 25° – 55° = 100°. Отже, гострокутний трикутник не може мати кути 25° і 55°.
3) Третій кут трикутника дорівнює 180° – 43° – 52° = 85°. Отже, гострокутний трикутник може мати кути 43° і 52°.
356. Оскільки сума гострих кутів трикутника дорівнює 90°, то невідомий гострий кут дорівнює: 1) 90° – 52° = 38°; 2) 90° – 24° = 66°; 3) 90° – 65° = 25°.
Відповідь: 1) 38°; 2) 66°; 3) 25°.
357. 1) Якщо один із кутів трикутника дорівнює сумі двох інших кутів, то трикутник прямокутний, оскільки кут дорівнює 180° : 2 = 90°.
2) Якщо α > β + γ, тo 2α > α + β + γ = 180°. Отже, 2α > 180°, α > 90°. Отже, трикутник – тупокутний.
358. 1) Третій кут трикутника дорівнює 180° – 40° – 50° = 90°. Отже, трикутник – прямокутний.
2) Третій кут трикутника дорівнює 180° – 25° – 35° = 120°. Отже, трикутник – тупокутний.
3) Третій кут трикутника дорівнює 180° – 80° – 40° = 60°. Отже, трикутник – гострокутний.
359.
Нехай у трикутників ABC і KLM ∠А = ∠К = α, ∠B = ∠L = β. Доведемо, що ∠С = ∠M. Оскільки ∠С = 180° – ∠А – ∠В = 180° – α – β, ∠M = 180° – ∠K – ∠L = 180° – α – β. Отже, ∠С = ∠M.
360. Зовнішній кут при вершині М трикутника KLM дорівнює 180° – 50° = 130°.
361. 1) 180° – ∠A = 180° – 57° = 123°;
2) 180° – ∠B = 180° – 34° = 146°;
3) 180° – ∠C = 180° – 76° = 104°;.
362. Зовнішній кут при вершині К трикутника NOK дорівнює 80° + 60° = 140°.
363.
∠A | 35° | 90° | 20° | 30° |
∠B | 55° | 45° | 95° | 30° |
∠C | 90° | 45° | 65° | 120° |
∠BCD | 90° | 135° | 115° | 60° |
364. У трикутника шість зовнішніх кутів.
365. 1) Оскільки кути трикутника пропорційні числам 1, 2, 3, маємо: 
Отже, кути трикутника дорівнюють 30°, 60°, 90°.
2) Оскільки кути трикутника пропорційні числам 4, 5, 6, маємо: 
Отже, кути трикутника дорівнюють 48°, 50°, 72°.
3) Оскільки кути трикутника пропорційні числам 5, 5, 8, маємо: 
Отже, кути трикутника дорівнюють 50°, 50°, 80°.
Відповідь: 1) 30°, 60°, 90°; 2) 48°, 60°, 72°; 3) 50°, 50°, 80°.
366.
1) Нехай β = 2α, тоді, оскільки α + β = 90°, маємо: α + 2α = 90°, 3α = 90°, α = 30°, β = 2 x 30° = 60°.
2) Нехай α = β – 20°, тоді, оскільки α + β = 90°, маємо: β – 20° + β = 90°, 2β = 110°, β = 55°, α = 55° – 20° = 35°.
3) Нехай α = 2m, β = 3m, тоді, оскільки α + β = 90°, маємо: 2m + 3m = 90°, 5m = 90°, n = 18°. Отже, α = 18° x 2 = 36°, β = 18° x 3 = 54°.
Відповідь: 1)30°, 60°; 2) 35°, 55°; 3) 36°, 54°.
367. Мал. 215. Оскільки BD || AC, то ∠ACB = ∠CBD – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BD і АС і січній ВС. ∠A + ∠B + ∠С = ∠A + ∠ABC + ∠CBD = ∠A + ∠ABD = 180°, оскільки ∠A і ∠ABD – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих BD і АС і січній AB. Отже, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Мал. 216. Оскільки AE || BD, то ∠EAB = ∠DBA – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АЕ і BD і січній AB. Оскільки BD || CF, то ∠DBC = ∠FCB – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих BD i CF i січній ВС. Тоді ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠ABD + ∠DBC + ∠BAC + ∠ACB = ∠EAB + ∠FCB + ∠BAC + ∠ACB = (∠EAB + ∠BAC) + (∠FCB + ∠ACB) = ∠EAC + ∠ACD = 180° (оскільки кути EAC і ACD – внутрішні односторонні при паралельних прямих АЕ і FC і січній AС, то ∠EAC + ∠ACD = 180°).
368. Нехай в прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = γ, α + β = 90°. ∠MAB = ∠CAB : 2 = α/2, ∠MBA = ∠ABC : 2 = β/2.
Тоді
Відповідь: 135°.
369.
Нехай ∠A = 64°, ∠B = 106°. Оскільки AM і ВК – бісектриси кутів ∠A і ∠B, то 
З? АВО: ∠AOB = 180° – 32° – 53° = 95°.
Відповідь: 95°.
370.
Нехай а || b, тоді ∠BAC + ∠ABD = 180° – як внутрішні односторонні кути при паралельних прямих а і b і січній AB. АО – бісектриса кута ВАС, ∠BAO = 1/2∠BAC. BO – бісектриса кута ABD, ∠ABO = 1/2∠ABD.
Відповідь: 90°.
371.
З прямокутного? DBC:
∠DBC = 90° – 40° = 50°.
∠ADB = 90° – 50° = 40°.
Відповідь: 40°.
372.
Нехай ∠ABD = ∠CBD = 90°/2 = 45.
З прямокутного? BCD маємо:
∠BCD = 90° – ∠CBD = 90° – 45° = 45°.
З прямокутного? ABD маємо:
∠BAD = 90° – ∠ABD = 90° – 45° = 45°.
373.
З прямокутного? АВН:
∠A = 90° – ∠ABH = 90° – 30° = 60°.
3 прямокутного? HBC:
∠C = 90° – ∠HBC = 90° – 40° = 50°.
∠B = ∠ABH + ∠HBC = 30° + 40° = 70°.
Отже, кути трикутника дорівнюють 60°, 50°, 70°.
Відповідь: 60°, 50°, 70°.
374.
З прямокутного? АВD:
∠ABD = 90° – ∠A = 90° – 75° = 15°.
З прямокутного? DBC:
∠DBC = 90° – ∠C = 90° – 35° = 55°.
Відповідь: 15°, 55°.
375.
Нехай у прямокутному? ABC (∠A = 90°) ∠C = 80°, AH – висота, AL – бісектриса кута A, ∠BAL = ∠CAL = 90° : 2 = 45°.
З прямокутного? АНС:
∠HAC = 90° – 80° = 10°.
Тоді ∠LAH = ∠CAL – ∠HAC = 45° – 10° = 35°.
Відповідь: 35°.
376.
Нехай у прямокутному? ABC (∠A = 90°) AH ⊥ CD, AL – бісектриса,
∠CAL = ∠BAL = 90°/2 = 45°. ∠LAH = 30°.
∠HAB = ∠BAL – ∠LAH = 45° – 30° = 15°.
З прямокутного? AHB: ∠B = 90° – ∠HAB = 90° – 15° = 75°.
∠CAH = ∠CAL + ∠LAH = 45° + 30° = 75°.
З прямокутного? CAH: ∠C = 90° – ∠CAH = 90° – 75° = 15°.
Відповідь: 15°, 75°.
377. Мал. 217.
∠1 = 180° – 140°= 40°, ∠2 = 180° – 70° = 110°, ∠3 = 140° – ∠2 = 140° – 110° = 30°.
Мал. 218.
∠3 = 180° – 120° = 60°, ∠2 = 120° – 50° = 70°, ∠1 = ∠B + ∠3 = 50° + 60° = 110°.
Відповідь: 60°, 70°, 110°.
378. 1)
∠B = 180° – 100° = 80°, ∠C = 180° – 40° – 80° = 60°. Отже, кути трикутника дорівнюють 40°, 80°, 60°.
2)
∠B = 180° – 100° = 80°, ∠C = 180° – 55° – 80° = 45°. Отже, кути трикутника дорівнюють 55°, 80°, 45°.
3)
∠B = 180° – 100° = 80°, ∠C = 100° – 30° = 70°. Отже, кути трикутника дорівнюють 30°, 80°, 70°.
Відповідь: 1) 40°, 80°, 60°; 2) 55°, 80°, 45°; 3) 30°, 80°, 70°.
379. 1)
∠A = 120° – 90° = 30°,
∠C = 180° – 120° = 60°.
2)
∠A = 132° – 90° = 42°,
∠C = 180° – 132° = 48°.
3)
∠A = 180° – 144° = 36°,
∠C = 144° – 90° = 54°.
380. Оскільки зовнішній кут дорівнює сумі двох кутів трикутника, не суміжних з ним, то розділимо 80° пропорційно числам З і 5 і знайдемо кути трикутника: 
Знайдемо третій кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом: 180° – 80° = 100°.
Відповідь: 30°, 50°, 100°.
381. Якщо один із зовнішніх кутів гострий, то суміжний з ним внутрішній кут, – тупий, а два інші кути трикутника – гострі, отже, два інших зовнішніх кути будуть тупими.
382. 1) Якщо один із зовнішніх кутів дорівнює 90°, то кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом, теж буде прямим. Отже, трикутник – прямокутний.
2) Якщо один із зовнішніх кутів дорівнює 32°, то кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом, дорівнює 180° – 32° = 148°. Отже, трикутник – тупокутний.
3) Якщо один із зовнішніх кутів дорівнює 89°, то кут трикутника, суміжний з даним зовнішнім кутом, дорівнює 180° – 88° = 91°. Отже, трикутник – тупокутний.
383. Якщо зовнішній кут трикутника дорівнює 70°, то кожний кут трикутника, не суміжний з ним, повинен бути меншим 70°, тому:
1) не може, бо 85° > 70°;
2) може, бо 55° < 70°;
3) може, бо 69° < 70°.
384.
∠BCD = 128°, ∠BAC = 90°, AH ⊥ BD, AL – бісектриса кута A, ∠BAL = ∠CAL = 45°. Оскільки ∠BCD = 128°, то ∠ACB = 180° – 128° = 52°.
З? АНС: ∠HAC = 90° – 52° = 38°, тоді ∠LAH = ∠CAL – ∠HAC = 45° – 38° = 7°.
Відповідь: 7°.
385.
Нехай ∠ABC = 60°, АР – бісектриса кута А, СК – бісектриса кута С.
∠BAP = ∠CAP, ∠ACK = ∠BCK. Тоді
Знайдемо гострий кут між бісектрисами АР і КС: ∠KOA = 180° – 120° = 60°.
Відповідь: 60°.
386.
Нехай СК – бісектриса кута С. ∠ACK = ∠BCK, BL – бісектриса кута В, ∠ABL = ∠CBL. ∠BOC = 128°.
∠OBC + ∠OCB = 180° – 128° = 52°, тоді ∠B + ∠C = 2 х 52° = 104°. Отже. ∠A = 180° – 104° = 76°.
Відповідь: 76°.
387.
∠B = 180° – 70° – 60° = 50°, ∠ABD = ∠CBD = 50° : 2 = 25° (оскільки BD – бісектриса кута В).
З? ABD: ∠ADB = 180° – 70° – 25° = 85°. Отже, кути трикутника ABD: 70°, 25°, 85°.
З? BDC: ∠BDC = 180° – 60° – 25° = 95°. Отже, кути трикутника DBC: 60°, 25°, 95°.
Відповідь: 70°, 25°, 85° і 60°, 25°, 95°.
388.
AD ⊥ ВС, ∠C = 50°, ∠B = 110°, ∠DBA – суміжний з кутом В, ∠DBA = 180° – 110° = 70°.
З? DBA: ∠DAB – 90° – 70° = 20°. З? CDA: ∠CAD = 90° – ∠C = 90° – 50° = 40°.
Отже, ∠CAD = 2∠BAD.
389. 1)
Нехай ВН ⊥ АС, BL – бісектриса.
∠B = 180° – ∠A – ∠C = 180° – 80° – 56° = 44°, тоді ∠ABL = ∠CBL = 44° : 2 = 22°.
Із? АВН: ∠ABH = 90° – 80° = 10°. Тоді ∠HBL = ∠ABL – ∠ABH = 22° – 10° = 12°.
2)
Нехай ВН ⊥ AC, BL – бісектриса кута В. ∠C = 180° – 40° – 60° = 80°.
Із? СВН: ∠CBH = 90° – 80° = 10°.
∠HBL = ∠CBL – ∠CBH = 1/2∠B – ∠CBH = 30° – 10° = 20°.
3)
Нехай ВН ⊥ AC, BL – бісектриса кута В. ∠A= 180° – 80° – 70° = 30°.
Із? АВН: ∠ABH = 90° – 30° = 60°.
∠LBH = ∠ABH – ∠ABL = 60° – 1/2 • 80° = 60° – 40° = 20°.
Відповідь: 1) 12°; 2) 20°; 3) 20°.
390.
Нехай KM || АС, LM ⊥ CB, KL || AB. ∠A = 35°, ∠B = 62°, тоді ∠C = 180° – 35° – 62° = 83°. ∠KBC = 83° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих КМ і СА і січній CB). ∠MBA = 35° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих КМ і СА і січній AB). ∠KCB = 62° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих KL і ВА і січній CB), ∠ACL = ∠BAC = 35° (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих KL і ВА і січній СА). Аналогічно ∠CAL = 83°, ∠BAH = 62°, ∠K = 180° – 83° – 62° = 35°, ∠M = 180° – 35° – 62° = 83°, ∠B = 180° – 35° – 83° = 62°.
391. Існує, наприклад прямокутний трикутник з кутами 90°, 60°, 30°, у якому 30° = 90° – 60°.
392.
∠1 = 180° – ∠A, ∠2 = 180° = ∠A, ∠3 = 180° – ∠B, ∠4 = 180° – ∠B, ∠5 = 180° – ∠C, ∠6 = 180° – ∠C.
Додамо почленно всі шість рівностей, матимемо: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180° х 6 х 2(∠A + ∠B + ∠C) = 180° х 6 – 2 х 180° = 4 х 180°. Отже, оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то сума суміжних кутів трикутника в чотири рази більше суми кутів трикутника.
393.
Оскільки зовнішній кут більший від кута трикутника, не суміжного з ним, то ∠BAC ≠ ∠BCK і тоді половини цих кутів теж нерівні, тобто ∠LАС ≠ ∠DCK. Оскільки ∠LAC і ∠DCK – відповідні кути при прямих АА і DC і січній АС і вони нерівні, то прямі AL і DC не паралельні.
Застосуйте на практиці
394.
Побудуємо зовнішній кут трикутника, не суміжний з тими кутами, суму яких треба знайти ∠DCB = ∠A + ∠B.
395. Оскільки в? АВС ∠C = 45°, ∠B = 90° – 45° = 45°, тобто? АВС – рівнобедрений, то AB = АС.
396. Оскільки в? АВС ∠A = 45°, ∠B = 90° – 45° = 45°, тобто? АВС – рівнобедрений, то АС = AB.
(2 votes, average: 4,00 out of 5)