Вправи 475-524

475.

?ABC – прямокутний; ∠A = 30°; АС = 18 см; ВК – бісектриса, проведена до катета АС; ∠CBK = ∠ABK = ∠CBA : 2 = 60° : 2 = 30°; ∠CBA = 90° – ∠CAB = 90° – 30° = 60°; СК = х, тоді AK = 18 – х.

?АВК – прямокутний; ∠A = ∠B = 30°; ВК = АК.

?СВК – прямокутний; СК – катет, що лежить проти кута 30° (∠CBK = 30°), отже, ВК = 2СК = 2х; BK = АК; 2х = 18 – х; 2х + х = 18; 3х = 18; x = 18 : 3; х = 6 см; ВК = 12 см.

Відповідь: 12 см.

476.

?ABC – прямокутний; ∠C = 90°; ∠BEC = 60°; BE – бісектриса ∠CBA; ∠CBE = ∠EBA;

∠A = 60°; ∠CBE = ∠EBA = 30°; EA = BE, ?BEA – рівнобедрений; BE = 2CE = 2 x 4 = 8 CM; CE – катет, що лежить проти кута 30°.

BE = EA = 8 CM;

CA = CE + EA = 4 см + 8 см = 12 CM.

Відповідь: 12 см.

477.

?ABC, BM – медіана; ВМ = ВС; ВН ⊥ АС; ВН – висота трикутника ABC; НС = 2 см.

?АВС – рівнобедрений, MB = СВ;

ВН – висота, медіана; МН = НС = 2 см; MC = 4 см.

?ABC; MB – медіана; AM = MC = 4 см; АС = АМ + MC = 4 + 4 = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

478.

?АВС; BL – бісектриса ∠ABC;

∠ABL = ∠CBL; ВН ⊥ АС;

ВН – висота; СВН = 20°.

?LBC – рівнобедрений, BL = ВС;

∠LBH = ∠HBC = 20°;

∠LBC = 40°;

∠ABL = ∠LBC = 40°;

∠ABC = ∠ABL + ∠LBC = 40° + 40° = 80°.

Відповідь: 80°.

479. a)

∠D < ∠E < ∠F; ∠F – найбільший кут? DEF; DF – найбільша сторона? DEF.

Б)

MK > NK > MN. MN – найменша сторона? MNK; ∠K – найменший кут? MNK.

480.

Найменший відрізок ВК – висота.

481. а) 13 + 6 < 20, ні, не можуть сторони трикутника дорівнювати 13 см, 20 см, 6 см;

Б) ні, не може;

В) 2 ; 3 ; 5, не можуть;

Г) ні, не може.

482. Прямий або тупий кути у трикутнику найбільші, тому проти них не може лежати найменша сторона.

483. AB = 5 см.

484.

?АВС; ∠C = 100°.

А) AB – найбільша сторона; б) виконується; в) ∠B – найменший кут.

485.

BD – медіана; |AB – AD| < BD <АВ + AD; |ВС – DC| < BD < BC + DC.

486. AB = 3,3 CM;

BC = 3,333 CM;

AC = 3,316 CM.

Найменший кут лежить проти сторони AB.

487.

?АВС; АС < ВС; ∠A < ∠B; найменший кут – ∠C.

488. Гіпотенуза ВС.

489. а) 14 см; б) 10 см; в) 3 см або 4 см.

490. а) Не може бути.

Б)

Р? ABC = 7 см + 7 см + 2 CM; Р? ABC = 16 CM.

491.

ВС < АВ + АС; ВС < АВ + АК + КС; ?АВК; ВК < АВ + АК ⇒ ВК < АВ.

492.

ВС > АВ – АС; АВ > ВС – АС; АС > АВ – ВС; ВС > 2АВ – АВ – 2АС – АС; ВС > АВ – 3АС; ВС > АВ – АС;

ВС + АВ + АС > 2АВ – 2АС.

493.

АС = 2,6 см; ВС = 9,7 см; AB = 12,3 см. AB = АС + ВС. Точки лежать на одній прямій.

494. а) AB = 7,5 см; ВС = 8,3 см; АС = 11, 5 см. АС = AB + ВС;

11,5 ≠ 7,5 + 8,3; точки А, В і С не лежать на одній прямій.

Б) AB = 16,3 см; ВС = 0,8 см; АС = 15,5 см; АС = АВ + ВС;

15,5 ≠ 16,3 + 0,8; точка В не лежить між точками А і С. AB = АС + ВС;

16,3 = 15,5 + 0,8.

Точка С лежить між точками A і В.

495. У рівнобедреному трикутнику ABC: AB > ВС; ∠B > ∠A; основа – ВС.

496. ?ABC; ∠A = ∠С; АС < AB, найменший кут трикутника? АВС – кут В.

497.

?АВС – рівнобедрений, AB = ВС; ∠A = ∠C.

Нехай АС = х, тоді AB = ВС = х + 3.

Рівняння: х + x + 3 + х + 3 = 18; 3х + 6 = 18; 3х = 18 – 6; 3х = 12; х = 4; АС = 4 см; AB = ВС = 4 + 3 = 7 см.

Або AB = ВС = х, тоді АС = х + 3.

Рівняння: х + х + х + 3 = 18; 3х + 3 = 18; 3х = 18 – 3; 3х = 15; х = 15 : 3 = 5; AB = ВС = 5 см; АС = 8 см.

Відповідь: 4 см, 7 см, 7 см або 5 см, 5 см, 8 см.

498.

АВ = ВС; АС = 10 м;

АВ = ВС = (70 – 10): 2 = 60 : 2 = 30 (м).

Відповідь: 10 м, 30 м, 30 м.

499.

|АВ – ВС| < АС < АВ + ВС;

1,2 – 0,4 < АС < 1,2 + 0,4;

0,8 < АС < 1,6; АС = 1 м.

500.

ВМ – медіана? АВС; AM = MC;

P? ABC = AB + ВС + AM + MC;

Із? АВМ: BM < AB + AM.

Із? MBC: BM < BC + MC;

2BM < AB + AM + BC + MC;

BM < 1/2(AB + AM + BC + MC);

BM < 1/2P? ABC

501.

502.

?ABC – прямокутний; CD – бісектриса; ∠BCD = ∠ACD; ∠CDA – тупий кут; ∠CDB – суміжний ∠CDA, отже, ∠CDB – гострий кут.

Найменша сторона? АВС – сторона ВС.

Відповідь: ВС.

503.

?ABC – прямокутний; ∠C = 90°; CD – висота; AD < BD. Якщо AD < BD, то АС < ВС, отже, найменший ∠B, тому що він лежить проти АС, яка менше ВС.

Відповідь: ∠B.

504.

?АВС: AB < АС + ВС; ?ABD: AD < АВ + BD. Висота тупокутного трикутника, проведена з вершини гострого кута, лежить поза трикутником.

505.

Відповідь: b > а.

506.

А) а – b < с < а + b;

Б) 2а < Р < 2(а + b).

507.

?ABC; ВМ – медіана; AM = MC;

що і треба було довести.

508.

ВМ – висота; ∠ABM; ВМ < АВ + AM; ?ВМС; ВМ < ВС + МС.

АК – висота; 2ВМ < АВ + ВС + АС. (1)

З? АВК: АК < АВ + ВК; з? АКС: АК < АС + КС; 2АК < АВ + ВС + АС. (2)

CF – висота; з? FBC: FC < ВС + FB; з? AFC: FC < АС + AF; 2FC < ВС + АС + АВ. (3)

Додамо (1) + (2) + (3):

509. а) ОА = а;

Б) OB = ОА = а;

В) ОА = ОС = OB = OD = а;

Г) ОА = а.

510. ОА = ОС; OB = OD.

1) ?AOD = ?ВОС; 2) ?DOC = ?BОА; 3) ?АDС = ?СВА; 4) ?DAB = ?BCD.

Задача для підготовки до контрольної роботи № 3

1.

∠1 = 36°; ∠2 = x, ∠3 = 4х; ∠2 і ∠3 – суміжні кути;

Х + 4х = 180°; 5х = 180°; х = 180°: 5; х = 36°; ∠2 = 36°; ∠3 = 144°.

∠2 = ∠1 = 36° (відповідні кути), отже, a || b.

2.

∠1 : ∠2 = 25 : 11. а || b, с – січна.

Нехай ∠1 = 25х; ∠2 = 11х; 25х + 11х = 180°; 36x = 180°; x = 5°; ∠1 = 11 x 5° = 55°; ∠2 = 25 x 5° = 125°.

Відповідь: 55°, 125°.

3. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 35°; ∠C = x + 35° – 25°.

Рівняння: х + х + 35° + х + 35° – 25° = 180°; 3х = 180° – 70° + 25°; 3х = 135°; х = 45°; ∠A = 45°; ∠B = 80°; ∠C = 55°.

Відповідь: 45°, 80°, 55°.

4.

АК – бісектриса ∠A? ABC; ∠1 = ∠2; CM – бісектриса ∠BCA; ∠3 = ∠4; ∠AOC = 100°.

?АОС; ∠2 + ∠4 = 180° – 100° = 80°.

?ABC; ∠A + ∠C = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 160°; ∠B = 180° – (∠A + ∠C) = 180° – 160° = 20°.

Відповідь: 20°.

5.

?ABD = ?DCA – прямокутні трикутники;

1) ∠B = ∠C = 90°;

2) AD – спільна сторона;

3) AB = CD з рівності? ABO = ?DCO (AO = OD; ∠B = ∠C = 90°; ∠BOA = ∠COD (вертикальні кути)).

?ABD = ?DCA за катетом і гіпотенузою.

6.

?АВС; ∠C = 90°; ∠ADB = 120°; ∠ABC = 60°; AD = 16 см.

?CBD; ∠CDB = 60° – суміжний куту ∠BDA = 120°; ∠CBD = 30°; CD – катет, що лежить проти кута 30°; CD = х, BD = 2х.

?BDA – рівнобедрений, ∠DBA = ∠DAB = 30°; DA = DB = 16 см; CD = 1/2BD = 1/2 • 16 = 8 (CM).

Відповідь: 8 см.

511. а)

AB = A1B1; ∠A = ∠A1 = 85°; ∠B = 40°; ∠C1 = 55°.

∠B + ∠C = 180° – 40 – ∠A = 180° – 40° – 85° = 55°;

∠B1 + ∠C1 = 180° – 55° – ∠A1 = 180° – 55° – 85° = 40°;

∠B = ∠B1 = 40°; ∠C = ∠C1 = 55°.

?ABC = ?A1B1C1 за стороною і двома прилеглими кутами.

Б) AB = A1B1; BC = B1C1; ∠B = 30°; ∠A1 = 72°; ∠C1 = 78°.

?А1В1С1: ∠C1 = 180° – (∠A1 + ∠C1) = 180° – (72° + 78°) = 180° – 150° = 30°.

Трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними.

512.

?МАС = ?CNB = ?АВР = ?ВАС за трьома сторонами. Три трикутники.

513.

514.

AB = MN; ∠A = ∠M; ∠B ≠ ∠N;

?ABC не може дорівнювати? MNK.

516.

Кути? MNP; 20°, 30°, 130°.

517. Бісектриси двох кутів трикутника не можуть бути перпендикулярними.

518. Дві висоти трикутника не можуть точкою перетину ділитись навпіл.

519.

?ABC; AB = BC; ∠A = ∠A1; ?А1В1С1; A1B1 = B1C1.

Проведемо висоти BK ⊥ АС; В1K1 ⊥ А1С1; ВК і В1К1 – медіани і бісектриси в? ABC і? А1В1С1. ?АВК = ?А1В1K1 (за гіпотенузою і гострим кутом).

Аналогічно, ?ВСК = ?В1С1K1.

З рівності трикутників маємо: AB = А1В1; BC = B1C1; ∠B = ∠B1.

?АВС = ?А1В1С1.

520.

?ABC = ?BCD = ?DCE – рівносторонні, у них усі сторони і кути рівні.

А) AE || BD, CD – січна; ∠BDC + ∠DCA = 60° + 120° = 180°.

∠BDC і ∠DCA – внутрішні односторонні кути.

Б) ?ABD = ?EDB; BD – спільна сторона; AB = DE; ∠B = ∠D.

B) ?ABE = ?EDA; AB = DE; AE – спільна сторона; ∠A = ∠D.

Кути? ABE; 60°, 90°, 30°.

521.

?ABC = AAB1C; AB = AB1; BC = B1C; AC – спільна основа; BD ⊥ AC; B1D ⊥ AC; D – спільна основа перпендикулярів.

522.

CD ⊥ AB; AO = OB; Доведемо, що? ACD = ?BCD; ?АОС = ?COD – прямокутні; AO = BO; CO – спільна сторона; отже, AC = BC; ?AOD = ?BOD – прямокутні; AO = BO; DO – спільна сторона. З рівності трикутників: AD = BD; отже, ?ACD = ?BCD (за трьома Сторонами).

1) AC = BC;

2) AD = BD;

3) CD – спільна сторона.

523.

A || b; пряма с перетинає пряму а, якщо пряма с не перетинає пряму b, то через точку проходить дві прямі паралельні прямій b, що неможливо.

524.

АМ = ВК = m; AM ⊥ а; ВК ⊥ a; ∠M + ∠A = 180°; ∠M і ∠A – внутрішні односторонні кути; AB || а.