Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

УРОК 3

Тема. Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

Мета уроку: ознайомлення учнів із взаємним розташуванням прямої і площини у просторі. Вивчення теореми про належність прямої до площини. Формування поняття перерізу многогранника.

Обладнання: моделі многогранників, схема “Взаємне розташування прямої і площини”, стереометричний набір.

1. Фронтальне опитування.

1) Скільки площин визначають дві прямі, які перетинаються?

2) Скільки площин визначають пряма і точка?

3) Скільки площин можна провести

через три прямі, які мають спільну точку?

4) Скільки площин можна провести через пряму і дві точки, які не належать їй?

2. Перевірка правильності виконання задачі № 6.

Теорема.

Дано: В Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників?, С Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників? (рис. 12).

Довести: ВС Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників?.

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

Доведення

Візьмемо точку А, яка не лежить на прямій ВС (згідно з аксіомою І). Через пряму ВС і точку А проведемо площину?`.

Якщо площини? і?` збігаються, то площина? містить пряму

ВС (рис. 13).

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

Якщо площини? і?` різні, то вони перетинаються по прямій а, яка містить точки В і С (рис. 14). За аксіомою І прямі а і ВС збігаються, отже, пряма ВС лежить в площині?.

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

Виконання вправ

1. Доведіть, якщо вершини трикутника АВС належать деякій площині?, то трикутник АВС лежить в цій площині.

2. Доведіть, що чотирикутник АВСD лежить в одній площині, якщо його діагоналі АС і BD перетинаються.

3. Доведіть, що чотирикутник ABCD – плоский, якщо продовження двох протилежних сторін АВ і CD перетинаються.

4. Як перевірити якість виготовлення лінійки за допомогою добре відшліфованої плити?

5. Задача № 9 із підручника (с. 9).

6. Задача № 11 із підручника (с. 10).

Взаємна розміщення прямої і площини

Із доведеної теореми випливає, що площина і пряма, яка не лежить у площині, або перетинаються, або не перетинаються.

Отже, можливі такі випадки взаємного розміщення прямої і площини (схема “Взаємне розміщення прямої і площини”):

А) площина? не має з прямою а спільних точок;

Б) площина? має з прямою а одну спільну точку;

В) пряма а лежить у площині?.

Взаємне розміщення прямої і площини

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

Завдання.

На предметах оточуючого простору покажіть різні випадки взаємного розміщення прямої і площини.

Поняття перерізу многогранника

У стереометрії розглядають перерізи многогранників.

Перерізом многогранника називається многокутник, який утворюється при перетині многогранника з площиною. Вершини цього многогранника є точками перетину січної площини з ребрами многокутника, а сторони – частинами прямих перетину січної площини з його гранями.

Для побудови простих перерізів необхідно вміти розв’язувати дві опорні задачі:

1) будувати лінію перетину двох площин;

2) будувати точку перетину прямої і площини.

Для побудови лінії перетину двох площин – січної площини і грані многогранника – знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму.

Виконання вправ

1. Дано зображення трикутної піраміди (рис. 15). Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через пряму АВ і точку С.

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

2. Дано зображення куба (рис. 16). Побудуйте переріз куба площи­ною, яка проходить через пряму АВ і точку С.

 Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників

3. У трикутній піраміді SABC всі ребра дорівнюють 10 см. Побудуй­те переріз піраміди площиною, яка проходить через ребро AS і точку? – середину ребра ВС. Знайдіть периметр побудовано­го перерізу.

4. Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через діагональ ВD верхньої основи і точку? – середину ребра АА1. Обчисліть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 10 см.

III. Домашнє завдання

§1, ?. 3; контрольне запитання № 4; задача № 10 (с. 9).

Запитання до класу

1) Що можна стверджувати про пряму, дві точки якої належать даній площині?

2) Точки А і В належать площині?, а точка С лежить поза площиною?. Вкажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:

А) пряма АС лежить в площині?;

Б) пряма СВ не лежить в площині?;

В) пряма АВ лежить поза площиною?;

Г) пряма АВ лежить в площині?.




Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників