ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗВИЧАЙНОГО ДРОБУ В ДЕСЯТКОВИЙ. ДЕСЯТКОВІ НАБЛИЖЕННЯ ЗВИЧАЙНОГО ДРОБУ

Розділ 2 ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ ТА ДІЇ З НИМИ

§11. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗВИЧАЙНОГО ДРОБУ В ДЕСЯТКОВИЙ. ДЕСЯТКОВІ НАБЛИЖЕННЯ ЗВИЧАЙНОГО ДРОБУ

Із курсу математики 5 класу ви знаете, що будь-який десятковий дріб можна записати у вигляді звичайного дробу. Наприклад,

Таку дію інакше називають перетворенням десяткового дробу в звичайний. Обернену дію називають перетворенням звичайного дробу в десятковий.

Нехай дроби Треба перетворити в десяткові. Для цього чисельник поділимо на знаменник. Тоді

отримаємо:

Поділивши 7 на 25, ми дістали десятковий дріб 0,28. А в двох інших випадках ділення закінчити було неможливо, оскільки остача весь час повторювалась. Тому ми припинили ділення і поставили три крапки.

Дріб 0,28 називають скінченним десятковим дробом, а дроби 0,6666… та 0,8333… називають нескінченними десятковими періодичними дробами. Такі дроби мають період – це число, яке в записі десяткового періодичного дробу повторюється нескінченно. Для дробу періодом є число 6, а для дробу – число 3. Період може починатися

відразу після десяткової коми, як у дробі , а може – після деякого числа, як у дробі

Нескінченний десятковий періодичний дріб коротко записують: 0,83333333 … = 0,8(3). Читають: “Нуль цілих вісім десятих і три в періоді”.

? Чи правильно, що в періоді має бути тільки одна цифра? Ні. Період може містити кілька цифр. Наприклад, у дробі 5,4121121121… період містить три цифри: 5,4(121).

Зверніть увагу:

При перетворенні звичайного дробу в десятковий завжди отримуємо або скінченний дріб, або нескінченний періодичний дріб.

? Чи можна порівнювати нескінченні періодичні дроби, виконувати з ними дії? Так. Але для цього потрібно попередньо округлити їх. Розглянемо приклад.

Подамо число у вигляді десяткового дробу:

Округлимо цей дріб до одиниць, десятих, сотих, тисячних і т. д. за правилами, які відомі вам із курсу математики 5 класу. Отримали таку послідовність чисел: 0; 0,4; 0,42; 0,417; 0,4167; …. У ній перше і друге значення є округленням із недостачею, а третє, четверте і п’яте – з надлишком. Отже, така послідовність не дає однозначної характеристики отриманого дробу. Для більш точної його оцінки застосовують спеціальні процедури.

Запишемо для числа 0,41(6) послідовність десяткових наближень із недостачею (до одиниць, десятих, сотих, тисячних і т. д.). Для цього не округлимо дане число, а відкинемо всі наступні цифри після вказаного розряду: 0; 0,4; 0,41; 0,416; 0,4166; ….

Запишемо для числа 0,41(6) послідовність десяткових наближень із надлишком (до одиниць, десятих,

Сотих, тисячних і т. д.). Для цього додамо 1 до відповідного розряду і відкинемо всі наступні цифри після вказаного розряду: 1; 0,5; 0,42; 0,41 7; 0,4167; ….

Неважко помітити, що для числа 0,41(6), а значить і для звичайного дробу , справджуються нерівності:

Крайні члени таких нерівностей називають десятковими наближеннями звичайного дробу. Такі наближення використовують, щоб оцінити звичайний дріб із пев – ною точністю, наприклад, до десятих чи до сотих. Подивіться на нерівності, записані вище. Перша з них показує десяткові наближення дробу з точністю до одиниць, друга – з точністю до десятих, третя – з точністю до сотих. Інакше можна сказати, наприклад, про нерівність оцінили з точністю до одиниць”.

Дізнайтеся більше

У вас могло виникнути запитання, у якому випадку звичайний дріб можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу.

Поміркуємо.

Подамо, наприклад, дроби у вигляді десяткових дробів.

Як бачимо, перші три дроби можна подати у вигляді скінченних десяткових дробів, а четвертий – лише у вигляді нескінченного

Десяткового періодичного дробу. Розкладемо їх знаменники на прості множники:

25 = 5∙5; 16 = 2∙2∙2∙2; 20 = 2∙2∙5; 12 = 2∙2∙3.

У перших трьох розкладах містяться лише числа 2 і 5, у третьому – і число 2, і число 5. У четвертому ж розкладі є й інший множник – число 3. Це і є причиною того, що дріб не можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу.

Нескоротний дріб можна записати у вигляді скінченного десяткового дробу тоді і тільки тоді, коли розклад його знаменника на прості множники не містить чисел, відмінних від 2 і 5.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Поясніть, як перетворити звичайний дріб у десятковий.

2. Наведіть приклад скінченного десяткового дробу.

3. Наведіть приклад нескінченного десяткового періодичного дробу. Назвіть його період.

4. Як округлити десятковий дріб із недостачею? із надлишком?

5. Що таке десяткове наближення звичайного дробу?

6. Як оцінити звичайний дріб з певною точністю?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

465′. Чи правильно, що серед чисел 0,23; 0,2333…; 1,(3); 2,25; 6,5(7); 7,812 є:

1) скінченні десяткові дроби; 2) нескінченні десяткові періодичні дроби? Назвіть їх.

466′. Чи правий Сергійко, стверджуючи, що період нескінченного періодичного десяткового дробу може містити:

1) 0 цифр; 2) 1 цифру; 3) 2 цифри; 4) 3 цифри; 5) 1000 цифр; 6) безліч цифр?

467′. Чи правильно записано послідовність десяткових наближень даного числа з недостачею? Якщо ні, то вкажіть, де допущено помилку.

1)5,555… 2)6,333… 3)1,666…

5; 5,5; 5,55; 5,555; 6; 6,3; 6,33; 6,334; 2; 1,6; 1,66; 1,666.

468′. Чи правильно записано послідовність десяткових наближень даного числа з надлишком? Якщо ні, то вкажіть, де допущено помилку.

1)5,555…

6; 5,6; 5,56; 5,556;

2) 6,333…

6;6,3;6?33;6?333;

3) 1,666…

2; 1,7; 1,67; 1,667.

469°. Чи можна перетворити дріб у:

1) скінченний десятковий дріб;

2) нескінченний періодичний десятковий дріб?

470°. Подайте звичайний дріб у вигляді десяткового:

Який десятковий дріб отримали: скінченний чи нескінченний?

471°. Подайте звичайний дріб у вигляді десяткового:

Який десятковий дріб отримали: скінченний чи нескінченний?

472°. Перевірте, чи є правильною рівність:

Назвіть період нескінченного десяткового дробу

473°. Запишіть дріб у розгорнутому вигляді:

1) 0,(7); 3) 1,5(3); 5)4,(17); 7) 0,(298);

2)3,(2); 4)0,(35); 6)5,1(62); 8)1,(314).

474°. Запишіть дріб у розгорнутому вигляді;

1) 0,(6); 2) 0,(19); 3)4,32(7).

475°. Подайте дріб у вигляді десяткового дробу:

Який десятковий дріб отримали: скінченний чи нескінченний? Якщо можливо, то вкажіть період дробу.

476°. Подайте дріб у вигляді десяткового дробу:

Який десятковий дріб отримали: скінченний чи нескінченний? Якщо можливо, то вкажіть період дробу.

477°. Яке число треба вставити замість *, щоб рівність була правильною:

478°. Яке число треба вставити замість *, щоб отримати правильну рівність:

479°. Які десяткові дроби є сусідніми для дробу 2,3456:

1)2,2 і 2,3; 2) 2,33 і 2,34; 3)2,4 і 2,5; 4) 2,34 і 2,35?

480°. Які десяткові дроби є сусідніми для дробу 0,121212…:

1)0,1 і 0,2; 2)0,21 і 0,22; 3)0,11 і 0,12; 4) 0,122 і 0,123?

481°. Які десяткові дроби є сусідніми для дробу 0,272727…:

1) 0,26 і 0,27; 2)0,1 і 0,2; 3) 0,277 і 0,278; 4) 0,27 і 0,28?

482°. Які десяткові дроби є сусідніми для дробу 0,5(71):

1) 0,56 і 0,57; 2) 0,5 і 0,6; 3) 0,570 і 0,571; 4) 0,516 і 0,517?

483°. Які десяткові дроби є сусідніми для дробу 1,3(47):

1)1,4 і 1,5; 2) 1,35 і 1,36; 3) 1,347 і 1,348; 4) 1,37 і 1,38?

484°. Порівняйте числа:

485°. Порівняйте числа:

1) 0,34(56) і 0,3457;

486°. Подайте дріб у вигляді десяткового дробу та округліть його до десятих:

487°. Подайте дріб у вигляді десяткового дробу та округліть його до сотих:

488°. Подайте дріб у вигляді десяткового дробу та округліть його до сотих:

489°. Одна сторона прямокутника дорівнює 4,2 см, а інша – см. Знайдіть периметр прямокутника. Відповідь запишіть десятковим дробом й округліть його до сотих.

490°. Одна сторона прямокутника дорівнює см, а інша – 3,25 см. Знайдіть периметр прямокутника. Відповідь запишіть десятковим дробом й округліть його до десятих.

491 °. Які десяткові дроби є сусідніми для дробу

1) 0,6 і 0,7; 2) 0,06 і 0,07; 3) 0,5 і 0,6; 4) 0,8 і 0,9?

492 . Які десяткові дроби є сусідніми для дробу

1)0,3 і 0,4; 2) 0,04 і 0,05; 3) 0,4 і 0,5; 4)0,41 і 0,42?

493°. Подайте звичайний дріб у вигляді десяткового:

Побудуйте десяткові наближення даного дробу з точністю до десятих.

494 . Подайте звичайний дріб у вигляді десяткового: Побудуйте десяткові наближення даного дробу з точністю до десятих.

495°. Запишіть у порядку зростання числа:

496°. Запишіть у порядку спадання числа:

497. Чи може період дробу містити: 1) дві однакові цифри; 2) три однакові цифри; 3) усі однакові цифри? Відповідь поясніть.

498. Чи правильно, що в скінченний десятковий дріб можна перетворити лише такий звичайний дріб, у якого знаменник є: 1) парним; 2) непарним? Відповідь поясніть.

499. Чи правильно, що в нескінченний десятковий періодичний дріб можна перетворити лише такий звичайний дріб, у якого знаменник є: 1) парним; 2) непарним? Відповідь поясніть.

500. Чи зміниться дріб, якщо:

1) число в періоді дробу помножити на 2; 2) число в періоді дробу поділити на 1; 3) до числа в періоді дробу додати число 0; 4) до числа в періоді дробу праворуч приписати цифру 0? Відповідь поясніть.

501. Чи зміниться кількість цифр у періоді дробу, якщо:

1) дріб помножити на 2; 2) дріб поділити на 2; 3) до дробу додати 2? Відповідь поясніть.

502. Яке з чисел найбільше:

503. Яке з чисел найменше:

504. Упорядкуйте точки 5(1,2(3)), С(1,23), D(1,(27)), Е(1,227) за зростанням їх координат. Яка з них міститься найдалі від початку відліку?

505. Упорядкуйте точки 5(1,2(4)), С(1,24), D(1,2(43)), Е(1,243) за зростанням їх координат. Яка з них міститься найдалі від початку відліку?

506. Обчисліть:

Відповідь подайте десятковим дробом.

507. Обчисліть:

Відповідь подайте десятковим дробом. 508. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язок рівняння подайте десятковим дробом. Округліть його до сотих: а) з недостачею; б) з надлишком.

509. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язок рівняння подайте десятковим дробом. Округліть його до десятих: а) з недостачею; б) з надлишком.

510. Побудуйте десяткові наближення звичайного дробу з точністю до сотих та порівняйте з іншим дробом:

511. Побудуйте десяткові наближення звичайного дробу з точністю до сотих та порівняйте з іншим дробом:

512. Перша сторона трикутника дорівнює см, друга – на см більша, ніж перша, а третя – на см менша, ніж перша. Знайдіть периметр трикутника та побудуйте десяткові наближення отриманого числа з точністю до сотих.

513. Перша сторона трикутника дорівнює см, друга – на см менша, ніж перша, а третя – на см більша, ніж перша. Знайдіть периметр трикутника та побудуйте десяткові наближення отриманого числа з точністю до тисячних.

514*. Знайдіть середнє арифметичне дробів та подайте його у вигляді десяткового дробу, округленого до сотих. Потім перетворіть дані дроби в десяткові, округліть їх до сотих та знайдіть середнє арифметичне округлених чисел. Порівняйте отримані результати.

515*. Яке з чисел найбільше: 1 ,(036), 1,036, 1,03(6) чи

516*. Упорядкуйте точки 5(1,0047619), С(1,0047(619)), D(1,0(47619)), Е(1,(047619)) за спаданням їх координат Яка з них міститься найближче до початку відліку?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

517. Виміряйте свій зріст, зріст мами й тата в сантиметрах. Знайдіть відношення свого зросту до зросту мами й тата, результати округліть до сотих і з недостачею, і з надлишком.

518. Знайдіть площу своєї кімнати у квадратних метрах. Результат округліть до сотих і з недостачею, і з надлишком.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

519. Знайдіть НСК чисел: 1) 26 і 65; 2) 45 і 105; 3) 21 і 28.

520. Об’єм одного куба дорівнює 27 см3 і становить 21,6% об’єму іншого куба. Знайдіть периметр грані більшого куба.