Властивість відрізків дотичних [Дотик двох кіл)

Урок № 44

Тема. Властивість відрізків дотичних [Дотик двох кіл]

Мета: вивчити властивість відрізків дотичних та схему доведення [засвоїти зміст поняття “дотик двох кіл” та видів дотику двох кіл і залежність між відстанню і центрами двох кіл та радіусами кіл у випадках внутрішнього та зовнішнього дотику].

Сформувати вміння:

– відтворювати властивості дотичних та описувати взаємне розташування

Двох кіл за готовим рисунком;

– використовувати властивість дотичних та співвідношення між відстанню і центрами

кіл та радіусами кіл, що дотикаються, розв’язувати задачі на доведення та встановлення взаємного розташування кіл.

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.

Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя; таблиця “Взаємне розташування двох кіл”.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

II. Перевірка домашнього завдання

Роботу на цьому етапі уроку можна організувати як само – або взаємоперевірку за зразком, або у вигляді самостійної роботи (на готових кресленнях).

Самостійна робота

Варіант 1

1. Дано: CA – дотична до кола (рис. 1). Знайдіть

кут BAC.

2. Знайдіть кути трикутника AOB (рис. 2).

Варіант 2

1. Дано: CA – дотична до кола (рис. 3). Знайдіть кут BAO.

2. Знайдіть кути трикутника AOB (рис. 4).

Варіант 3

1. Дано: BC – дотична до кола (рис. 5). Знайдіть кут ACB.

2. Дано: AD – дотична до кола (рис. 6). Доведіть, що

Варіант 4

1. Дано: BC – дотична до кола (рис. 7). Знайдіть кут BAC.

2. Дано: CA – дотична до кола (рис. 8). Доведіть, що

Примітка. Завдання варіантів 3, 4 мають більш високий рівень складності порівняно із завданнями варіантів 1, 2.

III. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку

Для позитивної мотивації навчальної діяльності учнів створюємо проблемну ситуацію.

Задача. Дано коло. Скільки дотичних можна провести:

А) через точку A на колі;

Б) через точку A, що не лежить у внутрішній частині кола (точка A належить кругу, обмеженому колом);

В) через точку A, що не належить кругу, обмеженому даним колом?

Якщо відповіді на перші два запитання можуть бути знайдені (і обгрунтовані) досить легко, то останнє запитання викличе певні труднощі (бо маємо протиріччя між набутими знаннями і неможливістю їх застосування в новій ситуації). Усвідомлення необхідності розв’язання цього протиріччя і створює мотивацію подальшої діяльності учнів. А подолання цього протиріччя (тобто з’ясування відповіді на запитання про кількість дотичних, проведених з точки поза колом до даного кола, та з’ясування властивостей, що при цьому виконуються) і є основною дидактичною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань

Для свідомого сприйняття учнями доведення властивості відрізків дотичних [та питання про дотик двох кіл] слід активізувати такі знання учнів:

А) властивості дотичної;

Б) означення прямокутного трикутника;

В) ознаки рівності трикутників;

Г) теорему про існування та єдиність перпендикуляра до прямої;

Д) аксіому вимірювання відрізків.

Форма проведення цього етапу уроку може бути різною: фронтальна бесіда; розв’язування усних задач; теоретична розминка; ігрова ситуація “Найрозумніший” тощо.

V. Засвоєння нових знань

План вивчення нового матеріалу

1°. Дотичні, проведені з точки поза колом. Відрізки дотичних.

2°. Властивість відрізків дотичних (з доведенням).

[3°. Дотик двох кіл: означення, види, властивості.]

4°. Застосування властивостей.

Методичний коментар

Незважаючи на те, що зазначені в темі питання не включено до програми, автор уважає за потрібне їх розглянути, оскільки властивість відрізків двох дотичних досить часто використовується під час розв’язування задач на коло.

Зазначену властивість можна розглянути як опорну задачу, при цьому не обгрунтовувати існування не більше двох дотичних до кола, що проведені з однієї точки. Також формулюємо уявлення про відрізки дотичних. Після цього доведення задачі учні можуть виконати самостійно.

Під час доведення властивості відрізків дотичних (через рівність прямокутних трикутників) паралельно може бути обгрунтований ще один опорний факт: відрізки, дотичні до кола та проведені з однієї точки, утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола, тобто пряма, що проходить через дану точку і центр кола, містить бісектрису кута, утвореного відрізками дотичних до кола, та бісектрису кута, утвореного радіусами, проведеними в точки дотику).

Питання про дотик двох кіл є додатковим, але розгляд його цікавий у контексті дослідження взаємного розташування двох кіл (продовження логічної лінії “Взаємне розташування двох фігур на площині”). Тому перш ніж дати означення і розглянути варіанти дотику двох кіл, слід поговорити про ті уявлення, що їх мають учні про варіанти взаємного розташування двох кіл (див. таблицю “Взаємне розташування двох кіл”).

Під час дослідження питання дотику двох кіл, окрім означення, необхідно звернути увагу на кількісні характеристики, а саме: на співвідношення між радіусами кіл та відстанню між їх центрами. (Ці співвідношення дозволяють визначати, чи дотикаються кола без необхідності робити рисунок.)

На закріплення останнього співвідношення можна виконати усну вправу.

Задача. Відстань між центрами двох кіл, що дотикаються і мають радіуси R1 і R2, дорівнює d. Визначте, яким є дотик даних кіл (внутрішнім чи

Зовнішнім), якщо:

А) R1 = 8 см, R2 = 2 см, d = 6 см;

Б) R1 = 3 см, R2 = 6 см, d = 9 см.

VI. Первинне усвідомлення нового матеріалу

Виконання письмових вправ

1. Коло дотикається до сторін нерозгорнутого кута. Доведіть, що центр кола лежить на бісектрисі кута.

2. Через кінці хорди AB, яка дорівнює радіусу кола, проведено дотичні, які перетинаються в точці C. Знайдіть кут ACB.

3. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює 8 см, дотикаються внутрішньо. Радіус одного з кіл дорівнює 10 см. Яку довжину може мати радіус другого кола?

4. Прямі AB і AC дотикаються до кола з центром O в точках B і C. Знайдіть радіус кола, якщо

VII. Підсумки уроку

На рисунку 1 допущено помилки. Знайдіть ці помилки. Поясніть свої міркування.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити теоретичний матеріал.

Домашнє завдання можна запропонувати або в традиційній формі, або у вигляді домашньої самостійної роботи.

1-й варіант. Письмово розв’язати задачі.

1. Накресліть коло з центром O радіуса 2,5 см.

А) Позначте на колі точку A й накресліть коло з центром K і радіусом 1,5 см, що зовні дотикається до даного кола в точці A.

Б) Проведіть спільну дотичну побудованих кіл. Під яким кутом вона перетинає пряму OK?

2. Прямі AB і AC дотикаються до кола з центром O в точках B і C. Знайдіть кут BAC, якщо

3. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює 8 см, дотикаються зовнішньо. Знайдіть діаметри цих кіл, якщо їхня різниця дорівнює 4 см.

2-й варіант. Домашня самостійна робота

Варіант 1

Початковий рівень

1. Накресліть коло радіуса 2 см з центром у точці O. Проведіть діаметр AB і хорду AC. Чому дорівнює діаметр кола?

Середній рівень

2. У колі з центром у точці O проведено хорду AB, Знайдіть кут AOB.

Достатній рівень

3. У колі з центром у точці O проведено дві рівні хорди AB і CD. Доведіть, що

Високий рівень

4. Через точку C кола з центром O проведено дотичну AB, причому AC = CB. Доведіть, що AO = OB.

Варіант 2

Початковий рівень

1. Накресліть коло з центром у точці O і діаметром MN, що дорівнює 6 см. Проведіть хорду NL. Чому дорівнює радіус цього кола?

Середній рівень

2. У колі з центром у точці O проведено хорду AB, Знайдіть кут OBA.

Достатній рівень

3. У колі з центром у точці O проведено дві рівні хорди AB і CD. Доведіть, що

Високий рівень

4. Через точку C кола з центром O проведено дотичну AB, причому AO = OB. Доведіть, що AC = CB.

Джерела:

1. Уроки геометрії. 7 клас./ С. П. Бабенко – Х.: Вид. група “Основа”, 2007.- 208 с.