Взаємне розміщення прямих у просторі

УРОК № 52

Тема. Взаємне розміщення прямих у просторі

Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про взаємне розміщення двох прямих у просторі.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Початкові відомості стереометрії” [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують взаємне розміщення в просторі двох прямих; застосовують вивчені означення та властивості до розв’язування задач.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх

завдань та відповісти на запитання учнів, які виникли при їх розв’язуванні.

Наприкінці уроку зібрати робочі зошити для перевірки домашнього завдання та виставлення оцінок за ведення зошитів.

II. Аналіз результатів контрольної роботи

1. Оголосити статистичні дані про бали, що одержали учні. 2. Спираючись на аналіз контрольної роботи, повідомити учням про типові помилки, що були допущені в контрольній роботі. Після цього учні працюють над помилками, яких вони припустилися при написанні контрольної

роботи. 3. Для учнів, які повністю справилися з тематичною контрольною роботою, можна запропонувати задачі підвищеної складності.

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності

Ви ознайомилися з планіметрією. Планіметрія – це розділ геометрії, у якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, кіл тощо.

Але, крім плоских фігур, існують і просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато предметів, що нас оточують, мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка тощо. Популярна в усьому світі іграшка – кубик Рубика – має форму куба.

Добре відомі піраміди Давнього Єгипту дають нам уявлення про широкий клас геометричних тіл, які називаються пірамідами.

IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Просторові геометричні фігури

Прямокутний паралелепіпед – це просторова геометрична фігура, яка обмежена шістьма прямокутниками, що називаються гранями. Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного. паралелепіпед а, а вершини прямокутників – вершинами прямокутного паралелепіпеда (рис. 223).

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Куб – це прямокутний паралелепіпед, у якого всі шість граней – квадрати (рис. 224).

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Прямокутний паралелепіпед і куб – це представники великого класу геометричних фігур, які називають многогранниками. Крім многогранників, у геометрії розглядають й інші просторові фігури: циліндри, конуси, кулі тощо.

Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості просторових фігур, називається стереометрією.

Верхню і нижню грані прямокутного паралелепіпеда називають основами, а ребра цих граней – ребрами основи, інші ребра називають бічними ребрами, а інші грані – бічними гранями.

Завдання класу

1. Назвіть бічні грані і бічні ребра прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 223). 2. Назвіть передню, задню, ліву, праву, верхню, нижню грані куба (рис. 224). 3. Назвіть основи і ребра основи куба (рис. 224).

Основні просторові фігури

Основними фігурами простору є точка, пряжа і площина.

Уявлення про точки і прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначають великими латинськими буквами, наприклад: А, В, С, …; прямі позначають малими латинськими буквами, наприклад: прямі а, Ь, с, …, або двома великими буквами, наприклад: прямі АВ, ВС, CD, … . Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня столу, поверхня віконного скла, мармурова плита тощо.

У геометрії площину уявляють необмеженою, ідеально рівною і гладкою. Зображають площину у вигляді паралелограма (рис. 225) або у вигляді довільної області (рис. 226). Позначають площини малими грецькими буквами, наприклад: площини?, ?, ?, … .

 Взаємне розміщення прямих у просторі

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Як і будь-яка геометрична фігура, площина складається з точок. Якщо точка А лежить у площині?, то говорять, що площина? проходить через точку А, і записують так: А Взаємне розміщення прямих у просторі?. Якщо точка А не лежить на площині?, говорять, що площина? не проходить через точку А, і записують так: А Взаємне розміщення прямих у просторі?.

Якщо кожна точка прямої а лежить на площині?, говорять, що пряма лежить у площині? або площина? проходить через пряму а, і записують так: a Взаємне розміщення прямих у просторі?; a Взаємне розміщення прямих у просторі?.

Завдання класу

Побудуйте і запишіть за допомогою символів:

А) площину? і точку А, яка лежить у ній;

Б) площину? і точку В, яка не належить їй;

В) площину?, яка проходить через пряму а;

Г) площину? і пряму а, яка не лежить у площині?;

Д) дві площини? і?, які проходять через пряму с.

Основні аксіоми стереометрії

Як і в планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами.

Нагадаємо, що в планіметрії властивість прямих і точок виражалася аксіомою:

Яка б не була пряма, існують точки, які належать цій прямій, і точки, які їй не належать. Через дві різні точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

Узявши яку-небудь площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати), ми можемо вказати точки, які належать цій площині, і точки, які не належать їй. Тому одна з властивостей площини в просторі виражається аксіомою.

Аксіома 1. Яка б не була площина, існують точки, які належать цій площині, і точки, які їй не належать.

Аксіома 2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

Наочною ілюстрацією аксіоми 2 є перетин двох стін, стіни і підлоги класної кімнати.

Аксіома 3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

Ніяких інструментів, якими б можна було побудувати в просторі площину, немає. Тому вираз “можна провести площину” вживається в значенні “існує площина”.

Єдину площину можна провести:

1) через дві прямі, що перетинаються; 2) через дві паралельні прямі; 3) через пряму і точку, яка не лежить на цій прямій; 4) через три точки, що не лежать на одній прямій.

Слід зазначити, що в просторі існує безліч площин, для кожної площини справедливі всі аксіоми і теореми планіметрії. Більше того, ознаки рівності й подібності трикутників справедливі і для трикутників, що лежать у різних площинах.

Завдання класу

1. Назвіть вершини, ребра, грані прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 223). 2. Користуючись зображенням куба (див. рис. 224), укажіть точки, які:

А) не належать передній грані;

Б) належать верхній грані;

В) належать грані ABCD;

Г) не належать грані А1В1ВА.

3. Користуючись рис. 223, укажіть:

А) спільні точки верхньої і передньої граней;

Б) пряму перетину задньої і нижньої граней;

В) спільні точки площин граней АВВ1А1 і А1В1С1D1;

Г) пряму перетину граней A1B1C1D1 і ВВ1С1С.

4. Користуючись рис. 223, укажіть, яку площину визначають прямі:

А) АВ і AD; б) ВС і СС1; в) DC і СС1; г) А1B1 і В1А.

5. Користуючись зображенням куба на рис. 224, доведіть, що можна провести площину через прямі:

А) АС і СС1; б) AD і DC1.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

Із планіметрії відомо, що дві прямі, що лежать у площині, можуть перетинатися або не мати спільних точок. Якщо дві прямі лежать в одній площині й не мають спільних точок, то вони називаються паралельними. У просторі дві різні прямі або перетинаються, або не перетинаються. Проте другий випадок допускає дві можливості: прямі лежать в одній площині або прямі не лежать в одній площині.

Прямі, які не перетинаються і лежать в одній площині, називаються паралельними.

Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними.

(Випадки взаємного розташування двох прямих у просторі демонструються за допомогою стереометричного ящика або на каркасній моделі куба.)

Отже, дві прямі а і b в просторі можуть перетинатися, бути паралельними, бути мимобіжними.

Завдання класу

1. Продемонструйте різні випадки розташування двох прямих у просторі на предметах оточення. 2. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 227).

А) Чи перетинаються прямі АА1 і BB1? A1В1 і D1С1? Як називаються ці прямі?

Б) Чи перетинаються прямі AD і ВB1? АВ і DD1? Як називаються ці прямі?

В) Чи можна провести площину через прямі: AD і DB1? A1D1 і C1D1? AD і BB1? АA1 і DB1? АА1 і DD1?

 Взаємне розміщення прямих у просторі

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Доведіть, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину.

Доведення

Нехай А, В, С – три дані точки, які не лежать на одній прямій (рис. 228). Проведемо прямі АВ і АС: вони різні, бо точки А, В, С не лежать на одній прямій. За аксіомою стереометрії через прямі АВ і АС, які перетинаються, можна провести площину?. Що і треба було довести.

 Взаємне розміщення прямих у просторі

2. Прямі АВ і CD не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і BD не можуть перетинатися.

Доведення

Якщо припустити, що прямі АС і BD перетинаються, то вони лежать у деякій площині. Тоді всі точки А, В, С, D лежать у цій площині, а отже, і прямі АВ і CD лежать в одній площині, що суперечить умові. Таким чином, прямі АС і BD не можуть перетинатися.

VI. Домашнє завдання

1. Вивчити матеріал про взаємне розміщення прямих у просторі. 2. Розв’язати задачу.

Доведіть, що через пряму і точку, яка їй не належить, можна провести площину.

VII. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Які дві прямі називаються паралельними? 2. Які дві прямі називаються мимобіжними? Наводимо зразок конспекту (табл. 7).

Таблиця 7

Стереометрія – розділ геометрії, що вивчає властивості просторових фігур

Основні геометричні фігури

Рисунок

Фігури

Позначення

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Точки

А, В, С, …

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Прямі

А, b, с, … АВ, ВС, …

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Площини

?, ?, ?. …

Аксіоми стереометрії

 Взаємне розміщення прямих у просторі

 Взаємне розміщення прямих у просторі

 Взаємне розміщення прямих у просторі

Яка б не була площина, існують точки, що належать їй, і точки, що їй не належать

Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину, і до того ж тільки одну

Взаємне розміщення двох прямих у просторі

 Взаємне розміщення прямих у просторі




Взаємне розміщення прямих у просторі