Ірраціональні рівняння ❤️ Довідник з математики

Математика – Алгебра

Степенева функція

Ірраціональні рівняння

Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають Ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:
, або , а потім піднести обидві частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:
Ірраціональні рівняння , ОДЗ: ;

class=""/>,

;

– правильно.
Але якщо

, маємо

;

, тобто

– сторонній корінь.
Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.
І спосіб
Виконувати перетворення, не зважаючи на їх рівносильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти

тільки в умову, коли рівняння ще не зазнало ніяких перетворень.
При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ

.
II спосіб
Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:
1)

Приклади
1)

.
2)

Розглянемо ще декілька прикладів розв’язування ірраціональних рівнянь.
1. Відокремлювання кореня

2. Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Якщо рівняння містить вирази

, то можна використати, що Ірраціональні рівняння

для тих значень х, при яких Ірраціональні рівняння

.
Отже, введемо нову змінну Ірраціональні рівняння

. Дістанемо Ірраціональні рівняння

.
Приклад
Ірраціональні рівняння

, ОДЗ:

.
Нехай

не задовольняє умову Ірраціональні рівняння

;

.
Відповідь: 253.
3. Заміна змінної.
Приклад
Ірраціональні рівняння

,
ОДЗ:

.
Нехай

.
Тоді

.
Отже,

не задовольняє умову Ірраціональні рівняння

Відповідь: 0; –5.
4. Рівняння виду Ірраціональні рівняння

Скористаємось тотожністю
Ірраціональні рівняння

.
Приклад
Ірраціональні рівняння

.
Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:
Ірраціональні рівняння

.
Треба знайти такі значення х, для яких Ірраціональні рівняння

. Отже, маємо:
Ірраціональні рівняння

Цей спосіб розв’язання потребує перевірки.
Перевірка
Ірраціональні рівняння

;

– правильно.
Ірраціональні рівняння

;

– правильно.
Відповідь: 80; –109.

(1 votes, average: 5,00 out of 5)

Ірраціональні рівняння - Довідник з математики

Схожі записи:

Додатні та від’ємні числа Математика – Алгебра Раціональні числа Додатні та від’ємні числа Координатна пряма Пряма з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом називається...
Рівняння – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Рівняння Приклад. Розв’язати рівняння: . Розв’язання Остання дія лівої частини – віднімання. Тобто – зменшуване, – від’ємник, –...
Границя числової послідовності Математика – Алгебра Границя Границя числової послідовності Число a називається Границею послідовності,, …, , …, якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число ,...
Рівняння з двома змінними – Системи лінійних рівнянь Математика – Алгебра Системи лінійних рівнянь Рівняння з двома змінними Лінійним рівнянням з двома невідомими Називається рівняння виду , де x і y – невідомі,...
Множення Математика – Алгебра Раціональні числа Множення Щоб знайти добуток двох чисел із різними знаками, треба перемножити їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак “–”....
Арифметичні операції над диференційовними функціями Математика – Алгебра Похідна Арифметичні операції над диференційовними функціями Теорема 1. Якщо функції і в точці мають похідні, то функція в цій точці також має...
Перетворення звичайних дробів на десяткові – Додавання і віднімання звичайних дробів Математика – Алгебра Додавання і віднімання звичайних дробів Перетворення звичайних дробів на десяткові Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, треба ділити чисельник на знаменник за...
Многочлен Математика – Алгебра Многочлен Многочленом Називається сума кількох одночленів. Одночлени, які складають многочлен, називаються його членами. Подібні доданки многочлена називають Подібними членами многочлена. Многочлен, що...
Логарифмічні функції Математика – Алгебра Логарифмічна функція Логарифмічні функції Функцію називають Логарифмічною функцією з основою a. Логарифмічна та показникова функції є взаємно оберненими. Властивості логарифмічної функції :...
Додавання і віднімання мішаних дробів з однаковими знаменниками Математика Алгебра Звичайні дроби Додавання і віднімання мішаних дробів з однаковими знаменниками Щоб додати мішані дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх цілі й дробові...
Розв’язування логарифмічних рівнянь Математика – Алгебра Логарифмічна функція Розв’язування логарифмічних рівнянь Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є , де...
Формули скороченого множення Математика – Алгебра Многочлен Формули скороченого множення – Формула різниці квадратів. Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів. – Формула...
Приклади розв’язування системи тригонометричних рівнянь Математика – Алгебра Тригонометричні функції Приклади розв’язування системи тригонометричних рівнянь 1) Відповідь: , n Є Z; , n Є Z. 2) а) б) Відповідь: ,...
Екстремуми функції Математика – Алгебра Числові функції Екстремуми функції Точку x0 називають Точкою мінімуму функції, а саме число – Мінімумом функції, якщо існує інтервал , , на...
Види неповних квадратних рівнянь і їх розв’язання Математика – Алгебра Квадратні корені Види неповних квадратних рівнянь і їх розв’язання 1. Якщо , , квадратне рівняння набуває вигляду і має один корінь ....
Дільники і кратні Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Дільники і кратні Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без остачі. Кратним натуральному числу...
Діаграми – Відсотки Математика – Алгебра Відсотки Діаграми Для наочного зображення різних величин використовують лінійні, стовпчасті, кругові діаграми. Якщо величини зображені відрізками з використанням одного масштабу, дістанемо Лінійну...
Віднімання раціональних чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Віднімання Щоб від одного числа відняти друге, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: . Приклади 1) ; 2) ;...
Радіанна система вимірювання кутів і дуг Математика – Алгебра Тригонометричні функції Радіанна система вимірювання кутів і дуг 1 радіан – це такий центральний кут, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині...
Періодичність тригонометричних функцій Математика – Алгебра Тригонометричні функції Періодичність тригонометричних функцій Функція називається Періодичною з періодом , якщо для будь-якого x з області визначення функції числа і також...
Степінь Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Степінь Добуток n однакових множників, кожний із яких дорівнює а, називається n-м Степенем числа А і записується : ,...
Дійсні числа Математика – Алгебра Квадратні корені Раціональні числа – це числа, які можуть бути записані у вигляді , де m – ціле число, n – натуральне....
Задачі на пряму та обернену пропорційність – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на пряму та обернену пропорційність Задача 1. На пошиття 20 костюмів витратили 83 м тканини. Скільки таких...
Одночлен і його стандартний вигляд Математика – Алгебра Одночлени Одночлен і його стандартний вигляд Вирази, які являють собою букви, числа, їхні степені й добутки, називаються одночленами. Якщо одночлен записаний у...
Основні властивості неперервних функцій Математика – Алгебра Границя Основні властивості неперервних функцій Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і...
Основні теореми про границі числової послідовності Математика – Алгебра Границя Основні теореми про границі числової послідовності Теорема 1. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю...
Розв’язування нерівностей з однією змінною Математика – Алгебра Нерівності Розв’язування нерівностей з однією змінною Розв’язком нерівності з однією змінною називається значення цієї змінної, яке перетворює її на правильну числову нерівність....
Парність функції Математика – Алгебра Числові функції Парність функції Функція називається Парною, якщо: 1) ; 2) . У парних функцій протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції....
Порівняння чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Порівняння чисел Із двох чисел меншим є те, зображення якого на горизонтальній координатній прямій розташовано ліворуч, більшим – те, зображення...
Додавання та віднімання дробів – Раціональні вирази Математика – Алгебра Раціональні вирази Додавання та віднімання дробів 1. Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їхні чисельники, а знаменник залишити...
Задачі на дроби – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на дроби 1. Щоб знайти дроб від числа, треба це число поділити на знаменник і одержане число...
Середнє арифметичне Математика – Алгебра Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів Середнє арифметичне Якщо суму кількох чисел ділять на кількість цих чисел, то знайдену частку...
Задачі на рівняння – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на рівняння Задача. Група туристів за три дні пройшла 74 км. За перший день туристи пройшли на...
Пряма та обернена пропорційність Математика – Алгебра Множення і ділення звичайних дробів Пряма та обернена пропорційність Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються Прямо пропорційними. Це...
Числові функції Математика – Алгебра Числові функції Залежність змінної y від змінної x називається Функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. x називається Аргументом, або...