Урок 27
Тема. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини
Мета уроку: формування поняття прямої, перпендикулярної до площини. Вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини.
Обладнання: стереометричний набір, модель куба.
Хід уроку
1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашнього завдання.
2. Самостійна робота.
Варіант 1
1) Промені OВ, ОС, OD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо OD = а, DC = b, DB = с. (6 балів)
2) Дано прямокутний
СС1. (6 балів)1) Промені 0В, ОС, OD попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка ОС, якщо BD = а, DC = b, OB = с. (6 балів)
2) Дано прямокутний паралелепіпед АВСDА1В1С1D1. Доведіть, що АВВ1С1. (6 балів)
Варіант 3
1) У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 АВ = b, А1В = а, AD = с. Знайдіть A1D. (6 балів)
2) У трикутній піраміді SABC, всі ребра якої рівні, точки М і N – середини ребер АС і SB відповідно. Доведіть, що MNAC. (6 балів)
1) У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 BD = с, ВА1= а, AD = b. Знайдіть ребро АА1. (6 балів)
2)
AS. (6 балів)Відповідь. Варіант 1. 1) 
. Варіант 2. 1) 
. Варіант 3. 1) 
. Варіант 4. 1) 
.
II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу
Уявлення про пряму перпендикулярну до площини дають вертикально поставлені стовпи – вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, яка проходить через основу стовпа і лежить у площині землі.
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину.
На рис. 137 пряма с перпендикулярна до площини?. Пишуть: с?. З означення випливає, що сA, сB.
1. Укажіть в оточуючому просторі моделі прямих і площин, які перпендикулярні.
2. Чи правильно, що коли пряма не перпендикулярна до площини, то вона не перпендикулярна ні до жодної прямої, яка лежить в цій площині?
3. Що означає твердження: пряма не перпендикулярна до площини?
4. Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD. Укажіть перпендикулярні прямі (рис. 138).
(Відповідь. SAAB; SAAC; SAAD)
Ознака перпендикулярності прямої і площини
Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це питання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно поставити прямо, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини, а досить перевірити перпендикулярність лише до двох прямих, які лежать у площині і проходять через точку перетину прямої і площини. Це випливає з теореми, що виражає ознаку перпендикулярності прямої і площини.
Теорема.
Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.
Далі колективно розбирається доведення сформульованої теореми за заготовленим рисунком і умовою теореми.
Наводимо запис, що робиться на дошці і в зошитах учнів.
Дано:
AС, aB, b
?, с?; а, b, с перетинаються в точці А; х?.
Довести: аХ (рис. 139).
Доведення
Додаткові побудови: проводимо пряму в площині?, яка перетинає прямі b, х, с в точках В, X, С, та відкладаємо на прямій а АА1 = АА2.
Номер п/п | Твердження | Аргументи |
1 | ?А1СА2 – рівнобедрений | AC – висота за умовою та медіана за побудовою |
2 | ?А1ВА2 – рівнобедрений | АВ – висота за умовою та медіана за побудовою |
3 | ?А1СВ = ?А2СВ | За третьою ознакою рівності трикутників (А1В = А2В із п. 2; А1С = А2С із п. 1; СВ – спільна) |
4 |
| Із п. 3 |
5 | ?А1ВХ = ?А2ВХ | За першою ознакою рівності трикутників ( |
6 | A1X = A2X | Із п. 5 |
7 | ?А1ХА2 – рівнобедрений | A1Х = А2Х |
8 | ХА – медіана є висотою: ХА | ?А1ХА2 – рівнобедрений |
Розв’язування задач
1. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Довести, що:
А) АА1(АВС);
Б) AD(DCC1);
В) B1D1(A1C1C);
Г) А1В1ВС1;
Д) ?AB1C1 – прямокутний;
Е) AB1C1D – прямокутник.
2. Дано: ABCD – паралелограм; МА = МС, MB = MD. Довести, що МО(АВС) (рис. 140).
3. Дано: ABCD – квадрат; MB = MD (рис. 141). Довести, що BD(MAO).
4. Задача № 6 із підручника (с. 34).
III. Домашнє завдання
§3, п. 15; контрольні запитання № 3, 4; задача № 7 (с. 34).
IV. Підведення підсумку уроку
1) Сформулюйте означення прямої, перпендикулярної до площини.
2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої і площини.
3) Точка S лежить поза площиною ромба ABCD, причому SBBC, SBAB, 
BAD = 60° (рис. 142). Які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
А) пряма SB перпендикулярна до площини АВС;
Б) пряма AB перпендикулярна до прямої SB;
В) пряма BC перпендикулярна до площини ASB;
Г) пряма SB перпендикулярна до прямої BD?
4) Точка S лежить поза площиною трикутника АВС, причому SAAC, ABAC, SA = SB = AB (рис. 143). Які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
А) пряма SA не перпендикулярна до площини АВС;
Б) пряма AB перпендикулярна до площини SAC;
В) пряма АС перпендикулярна до площини SAB;
Г) пряма BC перпендикулярна до площини ASC?
(2 votes, average: 2,50 out of 5)