Показникові рівняння ❤️ Довідник з математики

Математика – Алгебра

Степенева функція

Показникові рівняння

Показниковими рівняннями називають такі рівняння, в яких невідоме входить лише до показників степенів при сталих основах.

Розв’язування показникових рівнянь

1. Розв’язування зведенням до спільної основи
,
,
,
,
, x = ±2.
Відповідь: x1 = 2; x2 = -2.
2. Показникові рівняння, що мають показники з однаковою

буквеною частиною
Очевидно, що Показникові рівняння

, де C – const, Показникові рівняння

.
1)

.
Винесемо за дужки спільний множник лівої частини Показникові рівняння

.
Відповідь: 1.
2) Показникові рівняння

.
Зведемо всі степені до спільної основи 2.
Показникові рівняння

class=""/>,

.
Відповідь: 1,75.
3. Показникові рівняння, що зводяться до квадратних

.
Нехай

;

.
Відповідь:

;

.
4. Однорідні показникові рівняння

.
Зверніть увагу, що Показникові рівняння

. Отже,

.
Усі члени лівої частини цього рівняння мають степінь 2х, тобто рівняння однорідне. Поділимо обидві частини його на Показникові рівняння

.
Нехай

;

не задовольняє умову

;

.
Відповідь: 0.
5. Рівняння, які одночасно містять

.
Помножимо обидві частини рівняння на

.
Нехай

;

.
Відповідь: 2; 0.
6. Показникові рівняння, які містять обернені вирази
Зверніть увагу: в рівняннях можна зустріти вирази, добуток яких дорівнює 1, наприклад:

;

і т. д.

.
Нехай

, отже, на y можна помножити обидві частини рівняння.
Показникові рівняння

.
1)

.
2)

;

.
Відповідь: 2; -2.
7. Для розв’язування деяких рівнянь зручно використовувати монотонність показникової функції
1) Показникові рівняння

.
Очевидно, що Показникові рівняння

є коренем рівняння. Функція Показникові рівняння

є зростаючою, а функція Показникові рівняння

– спадна. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.
Відповідь: 1.
2) Показникові рівняння

;

.
Функція Показникові рівняння

є сумою двох зростаючих функцій, тобто є зростаючою на R. Права частина рівняння 1 – стала величина. Отже, рівняння не може мати більш ніж один корінь.
Показникові рівняння

є коренем рівняння.
Відповідь: 2.

Розв’язування показниковостепеневих рівнянь

Показниково-степенева функція має вигляд Показникові рівняння . Її область визначення знаходимо, розглядаючи три випадки:
1) ; – будь-яке число;
2) ; – ціле число;
3) ; – ціле додатне число.
Приклад
Розв’язати рівняння:
а) Показникові рівняння .
Розглянемо випадки:
1) , .
2) , .
3) , .
4) ; , .
Перевіркою переконуємося, що всі знайдені корені задовольняють рівняння.
Відповідь: –4; –6; –5; 2; –1.
б) Показникові рівняння .
1) , .
2) , .
3) ; , .
Перевірка
1) , .
2) , .
3) , .
4) ; не має змісту.
Відповідь: –7; –9; –1.

Розв’язування показникових нерівностей

В основі розв’язування показникових нерівностей лежить монотонність показникової функції, яка залежить від значення основи. Способи розв’язування аналогічні способам розв’язування показникових рівнянь, але часто приводять до системи нерівностей, бо треба врахувати умову Показникові рівняння
Приклади
1) .
Нехай , .
; .
Дістанемо систему нерівностей:

; .
Показникова функція з основою є зростаючою на R.
Отже, .
Відповідь: .
2) ;
.
Показникова функція Показникові рівняння з основою є спадною на R, тому дістанемо:
, ,
.
Відповідь: .

(1 votes, average: 5,00 out of 5)

Показникові рівняння - Довідник з математики

Схожі записи:

Розв’язування логарифмічних рівнянь Математика – Алгебра Логарифмічна функція Розв’язування логарифмічних рівнянь Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є , де...
Границя числової послідовності Математика – Алгебра Границя Границя числової послідовності Число a називається Границею послідовності,, …, , …, якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число ,...
Рівняння з двома змінними – Системи лінійних рівнянь Математика – Алгебра Системи лінійних рівнянь Рівняння з двома змінними Лінійним рівнянням з двома невідомими Називається рівняння виду , де x і y – невідомі,...
Неперервність функції в точці Математика – Алгебра Границя Неперервність функції в точці Нехай функція визначена на проміжку і точка є внутрішньою точкою цього проміжку. Функція називається Неперервною в точці,...
Арифметичні операції над диференційовними функціями Математика – Алгебра Похідна Арифметичні операції над диференційовними функціями Теорема 1. Якщо функції і в точці мають похідні, то функція в цій точці також має...
Перетворення звичайних дробів на десяткові – Додавання і віднімання звичайних дробів Математика – Алгебра Додавання і віднімання звичайних дробів Перетворення звичайних дробів на десяткові Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, треба ділити чисельник на знаменник за...
Логарифмічні функції Математика – Алгебра Логарифмічна функція Логарифмічні функції Функцію називають Логарифмічною функцією з основою a. Логарифмічна та показникова функції є взаємно оберненими. Властивості логарифмічної функції :...
Функції y= та y={x} Математика – Алгебра Числові функції Функції y= та y={x} Розглянемо функції і . – ціла частина x. Ціла частина числа – це найбільше ціле число,...
Додатні та від’ємні числа Математика – Алгебра Раціональні числа Додатні та від’ємні числа Координатна пряма Пряма з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом називається...
Рівняння – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Рівняння Приклад. Розв’язати рівняння: . Розв’язання Остання дія лівої частини – віднімання. Тобто – зменшуване, – від’ємник, –...
Комбінаторні задачі – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Комбінаторні задачі Задача 1. Запишіть усі трицифрові числа, що складаються із цифр 3, 4, 7, причому в записі...
Ірраціональні рівняння Математика – Алгебра Степенева функція Ірраціональні рівняння Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають Ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:...
Приклади розв’язування системи тригонометричних рівнянь Математика – Алгебра Тригонометричні функції Приклади розв’язування системи тригонометричних рівнянь 1) Відповідь: , n Є Z; , n Є Z. 2) а) б) Відповідь: ,...
Дільники і кратні Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Дільники і кратні Дільником натурального числа а називають натуральне число, на яке а ділиться без остачі. Кратним натуральному числу...
Множення звичайних дробів Математика – Алгебра Множення і ділення звичайних дробів Множення звичайних дробів Добутком звичайних дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників цих дробів, а знаменник...
Діаграми – Відсотки Математика – Алгебра Відсотки Діаграми Для наочного зображення різних величин використовують лінійні, стовпчасті, кругові діаграми. Якщо величини зображені відрізками з використанням одного масштабу, дістанемо Лінійну...
Віднімання раціональних чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Віднімання Щоб від одного числа відняти друге, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: . Приклади 1) ; 2) ;...
Задачі на рух – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на рух Задача. Відстань від А до В дорівнює 120 км. Відстань від А до В автомобіль...
Порівняння чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Порівняння чисел Із двох чисел меншим є те, зображення якого на горизонтальній координатній прямій розташовано ліворуч, більшим – те, зображення...
Степінь Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Степінь Добуток n однакових множників, кожний із яких дорівнює а, називається n-м Степенем числа А і записується : ,...
Дійсні числа Математика – Алгебра Квадратні корені Раціональні числа – це числа, які можуть бути записані у вигляді , де m – ціле число, n – натуральне....
Задачі на пряму та обернену пропорційність – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на пряму та обернену пропорційність Задача 1. На пошиття 20 костюмів витратили 83 м тканини. Скільки таких...
Лінійні рівняння з одним невідомим Математика – Алгебра Рівняння Лінійні рівняння з одним невідомим Рівняння виду , де a і b – деякі числа, а х – невідоме, називається Лінійним...
Основні властивості неперервних функцій Математика – Алгебра Границя Основні властивості неперервних функцій Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і...
Основні теореми про границі числової послідовності Математика – Алгебра Границя Основні теореми про границі числової послідовності Теорема 1. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю...
Метод інтервалів Математика – Алгебра Границя Метод інтервалів Отже, нехай функція неперервна на інтервалі І й перетворюється на 0 у скінченній кількості точок цього інтервалу. Тоді інтервал...
Радіанна система вимірювання кутів і дуг Математика – Алгебра Тригонометричні функції Радіанна система вимірювання кутів і дуг 1 радіан – це такий центральний кут, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині...
Періодичність тригонометричних функцій Математика – Алгебра Тригонометричні функції Періодичність тригонометричних функцій Функція називається Періодичною з періодом , якщо для будь-якого x з області визначення функції числа і також...
Додавання та віднімання дробів – Раціональні вирази Математика – Алгебра Раціональні вирази Додавання та віднімання дробів 1. Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їхні чисельники, а знаменник залишити...
Задачі на дроби – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на дроби 1. Щоб знайти дроб від числа, треба це число поділити на знаменник і одержане число...
Функції Математика – Алгебра Функції Функціональною відповідністю, або Функцією, називають таку відповідність між двома змінними, коли кожному значенню однієї змінної відповідає одне значення другої змінної. Першу...
Задачі на рівняння – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на рівняння Задача. Група туристів за три дні пройшла 74 км. За перший день туристи пройшли на...
Пряма та обернена пропорційність Математика – Алгебра Множення і ділення звичайних дробів Пряма та обернена пропорційність Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються Прямо пропорційними. Це...
Розв’язування рівнянь графічним способом Математика – Алгебра Функції Розв’язування рівнянь графічним способом За допомогою графіків функцій можна розв’язувати рівняння графічним способом. Для цього треба побудувати в одній системі координат...
Додавання і віднімання мішаних дробів з однаковими знаменниками Математика Алгебра Звичайні дроби Додавання і віднімання мішаних дробів з однаковими знаменниками Щоб додати мішані дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх цілі й дробові...