Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі

УРОК № 53

Тема. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі

Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про площину та взаємне розміщення двох площин у просторі; ознайомити учнів з різними випадками взаємного розміщення прямої і площини; дати уявлення про перпендикуляр до площини.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Початкові відомості стереометрії” [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують

взаємне розміщення в просторі прямої і площини, двох площин, застосовують вивчені означення та властивості до розв’язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Дано: АВ, САВ (рис. 229).

Доведіть: пряма АВ і точка С лежать у площині?.

Доведення

Візьмемо точку D, яка лежить на прямій АВ. Проведемо пряму CD. Через прямі АВ і CD, які перетинаються, проводимо площину?. Що і треба було довести.

Фронтальна бесіда

1) Що вивчає стереометрія? 2) Назвіть основні геометричні фігури стереометрії. 3) Сформулюйте аксіоми стереометрії. 4) Яке взаємне розміщення двох прямих у просторі можливе? 5) Скільки різних площин можна провести через:

А) три точки, які не лежать на одній прямій;

Б) три точки; які лежать на одній прямій;

В) пряму і точку, що не належить цій прямій?

II. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Взаємне розміщення двох площин

Ми знаємо, що якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. Це твердження – аксіома стереометрії. Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок (рис. 230).

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля класної кімнати, дві протилежні стіни класної кімнати, поверхня стола і площина підлоги.

Якщо площини? і? паралельні, то пишуть: ? || ?.

Дві площини будуть паралельними, якщо дві прямі, що лежать в одній площині й перетинаються, паралельні двом прямим другої площини (рис. 231), тобто якщо a || a1, b || b1, то? || ?. Доведення цього твердження ми опускаємо.

Завдання класу

1. Наведіть приклади паралельних площин із оточення. 2. На моделях куба, прямокутного паралелепіпеда покажіть паралельні площини і площини, які перетинаються. 3. Користуючись зображенням прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 (див. рис. 223), укажіть:

А) грані, які перетинають грань ABCD;

Б) площини, які паралельні площині ABC.

4. Дано: куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть паралельність площин:
а) АВС і A1B1C1; б) AB1D1 і BDC1.

У ході пояснення нового матеріалу учні складають конспект (табл. 8).

Таблиця 8

Взаємне розміщення двох площин
	Якщо а і b перетинаються і лежать у площині?, а1 || а, b1 || b, а прямі а1 || b1 лежать у площині?, то? || ?

Площина і пряма, яка не лежить у площині, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.

Випадки взаємного розміщення прямої і площини

1. Площина? не має спільних точок із прямою а. Пряма і площина, які не мають спільних точок, називаються паралельними, позначаються а || ? (рис. 232). 2. Площина? має з прямою а тільки одну спільну точку. У цьому випадку говорять, що пряма а і площина? (рис. 233) перетинаються. 3. Пряма а лежить у площині? (рис. 234).

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину.

На рис. 235 пряма с перпендикулярна до площини?. Пишуть: c?. Із означення випливає, що сA, сB, … .

Уявлення про пряму, перпендикулярну до площини, дають вертикальні стовпи – вони перпендикулярні до поверхні землі, перпендикулярні до будь-якої прямої, що проходить через основу стовпа і лежить у площині землі.

Як перевірити, чи перпендикулярна дана пряма до даної площини? Це запитання має практичне значення, наприклад, при установці щогл, колон тощо, які потрібно встановлювати вертикально, тобто перпендикулярно до площини землі. Насправді немає необхідності перевіряти перпендикулярність прямої до всіх прямих, що лежать у даній площині й проходять через точку перетину даної прямої і площини. Достатньо перевірити перпендикулярність лише двох прямих, що лежать у площині й проходять через точку перетину прямої і площини. Справедлива така теорема:

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які перетинаються і лежать у площині, то дана пряма перпендикулярна до площини.

Доведення цієї теореми ми не наводимо.

Перпендикуляром до площини називається відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою прямої і точкою перетину її з площиною.

На рис. 236 АО – перпендикуляр до площини. Будь-який інший відрізок, що сполучає точку А з довільною точкою В площини?, називається похилою. Відрізок ВО називають проекцією похилої АВ на площину?.

Виконування вправ

1. На предметах навколишнього середовища покажіть різні випадки взаємного розташування прямої і площини. 2. Визначте взаємне розміщення площини ABC (використовуючи зображення куба ABCDA1B1C1D1 на рис. 237) і прямих:

A) CD; б) АС1; в) B1D; г) DС1; д) D1С1; є) В1D1.

3. Укажіть у навколишньому середовищі моделі перпендикулярних прямих і площин. 4. Чи правильно, що якщо пряма не перпендикулярна до площини, то вона не перпендикулярна до жодної прямої, що лежить у цій площині? 5. Як ви розумієте твердження: пряма не перпендикулярна до площини? 6. Пряма SA перпендикулярна до площини прямокутника ABCD (рис. 238). Укажіть перпендикулярні прямі.

7. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 239). Доведіть, що:

А) пряма АА1 перпендикулярна до площини ABC;

Б) пряма AD перпендикулярна до площини DCC1;

В) пряма B1D1 перпендикулярна до площини A1C1C;

Г) пряма A1B1 перпендикулярна до прямої BC1.

Д) трикутник AB1C1 прямокутний.

Є) чотирикутник AB1C1D1 – прямокутник.

8. Знайдіть довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 4 см, а проекція похилої на площину – 3 см. 9. Знайдіть проекцію похилої на площину, якщо похила дорівнює 13 см, а перпендикуляр, проведений з цієї точки, – 12 см. 10. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо похила дорівнює 10 см, а проекція похилої на площину – 8 см. У табл. 9 наведено зразок конспекту уроку.

III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. Дві прямі однієї площини паралельні двом прямим іншої площини. Чи правильно, що такі площини завжди паралельні? Скористайтеся моделями. 2. Доведіть, що паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Доведення

Нехай площина у перетинає паралельні площини? і? по прямих а і b (рис. 240). Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а і b мають спільну точку, тоді ця точка – спільна і для площин? і?. Але цього не може бути, бо дані площини? і? паралельні. Отже, прямі а і b не можуть перетинатися, а оскільки вони лежать в одній площині у, то а || b.

3. Побудуйте зображення прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1. Укажіть:

А) грані, які перпендикулярні до ребра АА1; АВ; В1C1;

Б) ребра, перпендикулярні до грані DCC1D1.

4. Укажіть, які з наведених тверджень є правильними, а які – неправильні. 1) Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох різних прямих цієї площини. 2) Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні. 5. Як на практиці можна перевірити вертикальність установленого стовпа? 6. Як за допомогою рівня можна перевірити горизонтальність установленої підставки для приладу? 7. Кінці відрізка, який не перетинає площину, віддалені від неї на 10 см і 20 см. Знайдіть відстань від площини до середини відрізка. 8. Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від однієї із вершин куба до інших його вершин.

IV. Домашнє завдання

1. Вивчити матеріал про взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. 2. Розв’язати задачі. 1) Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 1 см, 2 см, 2 см. Знайдіть відстань від однієї із вершин прямокутного паралелепіпеда до інших його вершин. 2) Доведіть, що паралельні площини відтинають від паралельних прямих рівні відрізки.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які – неправильними.

1. Якщо? || ?, то будь-яка пряма площини? не має спільних точок з площиною?. 2. Якщо? || ?, то будь-яка пряма площини? паралельна кожній прямій площини?. 3. Якщо? || ?, то будь-яка пряма площини? мимобіжна кожній прямій площини?. 4. Якщо? || ?, то для будь-якої прямої а площини? існує пряма b у площині? така, що a || b. 5. Якщо? || ?, то пряма, яка перетинає площину?, перетинає і площину?.

V. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Яка пряма називається паралельною площині? 2. Яка пряма називається перпендикулярною до площини? 3. Що таке перпендикуляр? похила?

Таблиця 9

Взаємне розміщення прямої і площини
Паралельні a || ?	Перетинаються	Пряма лежить у площині
Пряма, перпендикулярна до площини
	Означення. Пряма перпендикулярна до площини?, якщо c A, c B, .. Теорема. Якщо с А, c B, то с ?
Перпендикуляр і похила
	АО – перпендикуляр, АВ – похила, ВО – проекція похилої АВ на площину?