Квадратична функція – Функції та графіки ❤️ Довідник з математики

Математика – Алгебра

Функції та графіки

Квадратична функція

Квадратним тричленом називається многочлен виду Квадратична функція Функції та графіки , де x – змінна, a, b і c – деякі числа, причому .
Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння Квадратична функція Функції та графіки .
Теорема. Якщо і – корені квадратного

тричлена

, то

.
Приклади
1) Квадратична функція Функції та графіки

;

або

.
2) Скоротити дріб.
а) Квадратична функція Функції та графіки

;
б)

;
в)

;

.
Квадратичною функцією називається функція, яку можна

задати формулою виду Квадратична функція Функції та графіки

, де x – незалежна змінна, a, b, c – довільні числа, причому Квадратична функція Функції та графіки

.
Графіки функцій Квадратична функція Функції та графіки

– рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.
Будь-яку функцію Квадратична функція Функції та графіки

можна представити у вигляді Квадратична функція Функції та графіки

, де m і

, n – деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції Квадратична функція Функції та графіки

можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції Квадратична функція Функції та графіки

.
Приклад
Квадратична функція Функції та графіки

;

.
Отже, щоб дістати графік функції Квадратична функція Функції та графіки

, треба зробити з графіком функції Квадратична функція Функції та графіки

такі перетворення:
1) відобразити симетрично осі Ox;
2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox;
3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.
Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції Квадратична функція Функції та графіки

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.
1. Координати вершини параболи Квадратична функція Функції та графіки

:
xв=

; yв=

або yв= y(xв).
Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.
2. Точки перетину параболи з осями координат є такими:
Абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді Квадратична функція Функції та графіки

.
Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння Квадратична функція Функції та графіки

.
Якщо це рівняння має два різних корені Квадратична функція Функції та графіки

, графік перетинає вісь Ox у точках Квадратична функція Функції та графіки

.
Якщо це рівняння має один корінь (тобто Квадратична функція Функції та графіки

), то цей корінь Квадратична функція Функції та графіки

.
Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати Квадратична функція Функції та графіки

.
Якщо це рівняння не має коренів Квадратична функція Функції та графіки

, парабола не перетинає вісь Ox.
3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.
Якщо Квадратична функція Функції та графіки

, вітки параболи напрямлені вгору.
Якщо Квадратична функція Функції та графіки

, вітки параболи напрямлені вниз.
4. Парабола є симетричною відносно прямої Квадратична функція Функції та графіки

.
На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.
1) Квадратична функція Функції та графіки

;

; xв

.
2)

;

;
x1 = x2 = xв=
= Квадратична функція Функції та графіки

;

;
xв> 0;

;

;
xв=

;

;
x1= x2= xв= Квадратична функція Функції та графіки

<0.

;

;
xв=

Приклад
Побудувати графік функції Квадратична функція Функції та графіки

– вітки параболи напрямлені вниз.
xв= Квадратична функція Функції та графіки

; xв=

;
yв=

, yв=

.
Вершина: (3; 1).
Точка перетину з віссю Oу:
Квадратична функція Функції та графіки

; (0; –8).
Точки перетину з віссю Ox:
Квадратична функція Функції та графіки

;

.
(2; 0); (4; 0).
На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.
1. Квадратична функція Функції та графіки

.
2.

;

– множина значень функції, тобто множина всіх значень y.
3. Квадратична функція Функції та графіки

при

і при

.
4. Точки перетину графіка з осями координат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5. Квадратична функція Функції та графіки

при

;

при

.
6. Функція зростає при Квадратична функція Функції та графіки

, функція спадає при Квадратична функція Функції та графіки

.
7. Найбільше значення функції – Квадратична функція Функції та графіки

, найменшого значення функції немає.
8. Графік функції – парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі Квадратична функція Функції та графіки

, вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої Квадратична функція Функції та графіки

Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду Квадратична функція Функції та графіки , де , b, c – дані числа, а правою – нуль, то таку нерівність називають Квадратною нерівністю.
Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій.
Для цього треба:
1) знайти корені тричлена Квадратична функція Функції та графіки або з’ясувати, що їх немає;
2) зобразити схематично графік функції , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;
3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.
Приклади
1) Квадратична функція Функції та графіки , , ,
, .

На ескізі графіка функції (див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких .
Відповідь: .
2) ,
,
, .

Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок).
Відповідь: (0; 0,9).
3) Квадратична функція Функції та графіки ,

,
– коренів немає.
Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок).
Відповідь: .
4) ,
, .

Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок).
Відповідь: Квадратична функція Функції та графіки .
5) .
Відповідь: .
6) .
Відповідь: .
7) .
Відповідь: .
Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень “за коренями”, а від’ємних – “між коренями”; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень “між коренями”, а від’ємних – “за коренями”.

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду Квадратична функція Функції та графіки , де , називається Біквадратним.
Для його розв’язання вводять нову змінну:
, .
Приклади
1) .
Нехай , .
. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:
Квадратична функція Функції та графіки , .
, ,
, ,
, . ; .
Відповідь: , , , .
2) .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
, .
Відповідь: , .
3) .
Нехай , .
,
; .
t1 і t2 не задовольняють умову Квадратична функція Функції та графіки .
Відповідь: коренів немає.
Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види рівнянь.
Приклади
1. Квадратична функція Функції та графіки .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
,
,
.
Відповідь: , .
2. .
Нехай .
Тоді ,
,
,
Відповідь: , .
а) .
,
,
Відповідь: , .
б) .
, ,
; .
Відповідь: Квадратична функція Функції та графіки , , , .

(1 votes, average: 5,00 out of 5)

Квадратична функція – Функції та графіки - Довідник з математики

Схожі записи:

Додатні та від’ємні числа Математика – Алгебра Раціональні числа Додатні та від’ємні числа Координатна пряма Пряма з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом називається...
Границя числової послідовності Математика – Алгебра Границя Границя числової послідовності Число a називається Границею послідовності,, …, , …, якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число ,...
Рівняння з двома змінними – Системи лінійних рівнянь Математика – Алгебра Системи лінійних рівнянь Рівняння з двома змінними Лінійним рівнянням з двома невідомими Називається рівняння виду , де x і y – невідомі,...
Множення Математика – Алгебра Раціональні числа Множення Щоб знайти добуток двох чисел із різними знаками, треба перемножити їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак “–”....
Арифметичні операції над диференційовними функціями Математика – Алгебра Похідна Арифметичні операції над диференційовними функціями Теорема 1. Якщо функції і в точці мають похідні, то функція в цій точці також має...
Перетворення звичайних дробів на десяткові – Додавання і віднімання звичайних дробів Математика – Алгебра Додавання і віднімання звичайних дробів Перетворення звичайних дробів на десяткові Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, треба ділити чисельник на знаменник за...
Многочлен Математика – Алгебра Многочлен Многочленом Називається сума кількох одночленів. Одночлени, які складають многочлен, називаються його членами. Подібні доданки многочлена називають Подібними членами многочлена. Многочлен, що...
Логарифмічні функції Математика – Алгебра Логарифмічна функція Логарифмічні функції Функцію називають Логарифмічною функцією з основою a. Логарифмічна та показникова функції є взаємно оберненими. Властивості логарифмічної функції :...
Системи нерівностей з однією змінною Математика – Алгебра Нерівності Системи нерівностей з однією змінною Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке є розв’язком кожної нерівності даної системи....
Основні теореми про границі функцій Математика – Алгебра Границя Основні теореми про границі функцій Теорема 1. Якщо функції і в точці мають границі, то сума і добуток цих функцій також...
Розв’язування логарифмічних рівнянь Математика – Алгебра Логарифмічна функція Розв’язування логарифмічних рівнянь Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є , де...
Формули скороченого множення Математика – Алгебра Многочлен Формули скороченого множення – Формула різниці квадратів. Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів. – Формула...
Ірраціональні рівняння Математика – Алгебра Степенева функція Ірраціональні рівняння Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають Ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:...
Десяткові дроби Математика – Алгебра Десяткові дроби Якщо дріб має знаменник виду 10, 100, 1000 і т. д., його можна записати у вигляді десяткового дробу таким чином:...
Види неповних квадратних рівнянь і їх розв’язання Математика – Алгебра Квадратні корені Види неповних квадратних рівнянь і їх розв’язання 1. Якщо , , квадратне рівняння набуває вигляду і має один корінь ....
Задачі на пропорційне ділення – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на пропорційне ділення Задача 1. Розчин містить 7 частин цукру й 11 частин води. Скільки цукру потрібно...
Відношення та пропорції Математика – Алгебра Множення і ділення звичайних дробів Відношення та пропорції Відношенням двох чисел називається частка цих чисел. Відношення показує, у скільки разів одне число...
Діаграми – Відсотки Математика – Алгебра Відсотки Діаграми Для наочного зображення різних величин використовують лінійні, стовпчасті, кругові діаграми. Якщо величини зображені відрізками з використанням одного масштабу, дістанемо Лінійну...
Дробові раціональні рівняння Математика – Алгебра Квадратні корені Дробові раціональні рівняння Дробове раціональне рівняння – це рівняння, в якого ліва або права частина або обидві – дробові вирази....
Геометрична прогресія Математика – Алгебра Послідовності Геометрична прогресія Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від 0 чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на...
Основні поняття теорії імовірностей – Початки теорії імовірностей Математика – Алгебра Початки теорії імовірностей Основні поняття теорії імовірностей Подія – це будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається....
Дійсні числа Математика – Алгебра Квадратні корені Раціональні числа – це числа, які можуть бути записані у вигляді , де m – ціле число, n – натуральне....
Одночлен і його стандартний вигляд Математика – Алгебра Одночлени Одночлен і його стандартний вигляд Вирази, які являють собою букви, числа, їхні степені й добутки, називаються одночленами. Якщо одночлен записаний у...
Основні властивості неперервних функцій Математика – Алгебра Границя Основні властивості неперервних функцій Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і...
Основні теореми про границі числової послідовності Математика – Алгебра Границя Основні теореми про границі числової послідовності Теорема 1. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю...
Розв’язування нерівностей з однією змінною Математика – Алгебра Нерівності Розв’язування нерівностей з однією змінною Розв’язком нерівності з однією змінною називається значення цієї змінної, яке перетворює її на правильну числову нерівність....
Радіанна система вимірювання кутів і дуг Математика – Алгебра Тригонометричні функції Радіанна система вимірювання кутів і дуг 1 радіан – це такий центральний кут, для якого довжина відповідної дуги дорівнює довжині...
Парність функції Математика – Алгебра Числові функції Парність функції Функція називається Парною, якщо: 1) ; 2) . У парних функцій протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції....
Додавання та віднімання дробів – Раціональні вирази Математика – Алгебра Раціональні вирази Додавання та віднімання дробів 1. Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їхні чисельники, а знаменник залишити...
Задачі на дроби – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на дроби 1. Щоб знайти дроб від числа, треба це число поділити на знаменник і одержане число...
Середнє арифметичне Математика – Алгебра Порівняння та округлення натуральних чисел і десяткових дробів Середнє арифметичне Якщо суму кількох чисел ділять на кількість цих чисел, то знайдену частку...
Задачі на рівняння – Приклади розв’язування типових завдань Математика – Алгебра Приклади розв’язування типових завдань Задачі на рівняння Задача. Група туристів за три дні пройшла 74 км. За перший день туристи пройшли на...
Пряма та обернена пропорційність Математика – Алгебра Множення і ділення звичайних дробів Пряма та обернена пропорційність Дві змінні величини, відношення відповідних значень яких є сталим, називаються Прямо пропорційними. Це...
Числові функції Математика – Алгебра Числові функції Залежність змінної y від змінної x називається Функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y. x називається Аргументом, або...
Додавання і віднімання мішаних дробів з однаковими знаменниками Математика Алгебра Звичайні дроби Додавання і віднімання мішаних дробів з однаковими знаменниками Щоб додати мішані дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх цілі й дробові...