Математика – Алгебра
Тригонометричні функції
Поняття про обернену функцію
Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є Оборотною.
У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.
Інакше кажучи, якщо функція 
є оборотною й число а належить до її області значень 
, то рівняння 
має розв’язок, причому єдиний.
Оберненою до даної оборотної
називається така функція 
, яка кожному із множини значень функції 
ставить у відповідність єдине число x з області визначення.Якщо аргумент і функцію в записі
позначити звичайним способом, отримаємо 
.Графік функції g, оберненої до функції f, симетричний графіку f відносно прямої
.Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона є оборотною. Обернена до f функція g, яка визначена в області значень f, теж є зростаючою
Наведемо деякі приклади обернених функцій.
1. На проміжку
функція 
є оборотною. Оберненою до неї на цьому проміжку є функція 
.На рисунку зображені функція
і обернена до неї функція 
:
2. y = arcsin x – функція, обернена до
, якщо 
.Отже, запис
Означає, що 
; 
.Зверніть увагу: у деяких випадках не можна назвати точного значення
. Наприклад, 
, але для 
можемо знайти тільки наближене значення.Властивості функції
:1) область визначення
;2) область значень
;3) функція непарна, бо
– симетрична відносно 0; 
.Отже, графік
Симетричний відносно початку координат;4) функція не є періодичною;
5)
;6) функція зростаюча;
7)
при 
,
при 
;8) найбільше значення –
, якщо 
, найменше – 
, якщо 
.Графік функції
зображений на рисунку:
Зверніть увагу на рівності:
;
;
; 
.Зверніть увагу:
3. y = arccos x – функція, обернена до
, якщо 
.Отже, запис
означає, що 
; 
.Властивості функції y = arccosx:
1)
;2)
;3) функція не є ні парною, ні непарною;
4) функція не є періодичною;
5)
, 
;6) функція спадна;
7) функція додатна на всій області визначення;
8) найбільше значення –
, якщо 
, найменше – 0, якщо 
.Графік функції
зображений на рисунку:
; 
;
; 
.
.4.
– функція, обернена до 
, якщо 
.Запис b = arctg(a) означає:
.Властивості функції y = arctgx:
1)
;2)
;3) функція непарна.
симетрична відносно 0, 
.Графік симетричний відносно початку координат;
4) функція не є періодичною;
5)
;6) функція зростаюча;
7)
, якщо 
,
, якщо 
;8) функція не набуває найбільшого і найменшого значень.
, якщо 
;
, якщо 
;
.Графік функції
зображений на рисунку:
5.
– функція, обернена до 
, якщо 
.Запис
означає, що 
; 
.Властивості функції y = arcctgx:
1)
;2)
;3) функція не є ні парною, ні непарною;
4) функція не є періодичною;
5)
,
при жодному значенні х;6) функція спадна;
7) додатна на всій області визначень;
8) функція не набуває найбільшого і найменшого значень.
Графік функції
зображений на рисунку:
, 
,
, 
,
, 
.
(1 votes, average: 5,00 out of 5)