Математика – Алгебра
Модуль і його властивості
Модуль числа – це відстань від 0 до точки, що відповідає цьому числу на координатній прямій, виміряна в одиничних відрізках.
Отже, для всіх значень a.
Властивості модуля
1. .
2. Якщо , то
.
3. Якщо , то
4. Модуль суми скінченного числа дійсних чисел не перевищує суми
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3268_fmt.jpeg)
5. Модуль різниці не менший за різницю модулів цих чисел:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3270_fmt.jpeg)
6. Модуль добутку скінченного числа співмножників
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3271_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3272_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3273_fmt.jpeg)
7. Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3274_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3275_fmt.jpeg)
Приклади розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля
1)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3276_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3277_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3278_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3279_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3279_fmt1.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3280_fmt.jpeg)
Відповідь:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3281_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3282_fmt.jpeg)
2)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3283_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3284_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3286_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3287_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3288_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3289_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3290_fmt.jpeg)
Треба враховувати, що модуль будь-якого числа є числом невід’ємним, отже, корені
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3291_fmt.jpeg)
Відповідь:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3292_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3293_fmt.jpeg)
3)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3294_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3295_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3296_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3297_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3297_fmt1.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3298_fmt.jpeg)
Відповідь:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3299_fmt.jpeg)
4)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3300_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3301_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3302_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3303_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3304_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3305_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3306_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3308_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3309_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3310_fmt.jpeg)
Відповідь:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3311_fmt.jpeg)
Складаючи першу сукупність, ми урахували, що модуль будь-якого числа є завжди число невід’ємне. Із цього випливає, що при тих значеннях x, коли права частина є числом недодатним, нерівність завжди виконується.
5) Дуже корисним у розв’язуванні завдань з модулем є спосіб поділення координатної прямої на такі інтервали, що в них можна визначити знак підмодульного виразу й розкрити знак модуля.
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3312_fmt.jpeg)
Знайдемо, при яких значеннях х підмодульні вирази перетворюються на нуль:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3313_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3314_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3315_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3316_fmt.jpeg)
Отже, розіб’ємо числову пряму на три інтервали й будемо розв’язувати рівняння на кожному з них окремо (див. рисунок).
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/image8756image_37_fmt_0.jpeg)
Щоб визначити, який знак має на певному інтервалі кожний із підмодульних виразів, досить підставити в нього замість х довільне число з цього інтервалу.
І.
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3317_fmt.jpeg)
Візьмемо, наприклад,
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3318_fmt.jpeg)
,
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3320_fmt.jpeg)
Отже, маємо:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3321_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3322_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3323_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3324_fmt.jpeg)
ІI.
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3317a_fmt.jpeg)
Беремо
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3325_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3326_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3327_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3328_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3329_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3330_fmt.jpeg)
III.
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3331_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3332_fmt.jpeg)
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3333_fmt.jpeg)
Об’єднуємо розв’язки, отримані на всіх трьох інтервалах (I, II і III).
Відповідь:
![Властивості модуля Модуль і його властивості Властивості модуля Модуль і його властивості](/image/2/sprav-ukr3334_fmt.jpeg)