УРОК № 10
Тема. Основні задачі на розв’язування трикутників
Мета уроку: ознайомити учнів з основними задачами розв’язування трикутників.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: описують основні випадки розв’язування трикутників та алгоритми їх розв’язування.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Фронтальне опитування
1) Сформулюйте теорему косинусів. 2) Як, користуючись
Правильність виконання задачі з домашнього завдання перевірити за записами на дошці, зробленими до початку
Розв’язання
A2 = b2 + c2 – 2bc cosA; 49 = 4 + 64 – 2 • 2 • 8 • cosA; 49 = 68 – 32cosA;
32cosA = 19; cosA = 
0,594; 
A 54°.
B2 = a2 + c2 – 2ac cosB; 4 = 49 + 64 – 2 • 7 • 8 • cosB; 4 = 113 – 112cosB;
112cosB = 109; cosB = 
0,973; B 13°.
C = 180° – A – B 180° – 54° – 13° = 113°.
Відповідь. A 54°, B 13°, C 113°.
ІІ. Аналіз самостійної роботи
ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Визначення трикутника за трьома основними елементами
З ознак рівності трикутників випливає, що трикутник визначається трьома основними елементами, серед яких хоча б один лінійний. Розв’язати трикутник означає за його трьома даними основними елементами знайти три інші елементи.
Із шести основних елементів трикутника по три елементи можуть сполучатися такі:
1) сторона і два прилеглі кути; 2) дві сторони і кут між ними; 3) дві сторони і кут, протилежний одній із сторін; 4) три сторони.
Чотири випадки розв’язування трикутників
Відповідно до цього розглянемо чотири випадки розв’язування трикутників.
1-й випадок
Нехай задано сторону а і кути А і В трикутника ABC. Треба знайти кут С і сторони b і с трикутника ABC.
С = 180° – (A + В).
За теоремою синусів 
, знайдемо 
.
За теоремою синусів 
, знайдемо
= 
= 
.
Колективне розв’язування задач
Дано сторону а = 5 і два кути трикутника? = 30°, ? = 45°. Знайдіть третій кут та інші дві сторони трикутника.
Розв’язання
? = 180° – ? – ? = 180° – 30° – 45° = 105°.
; 
; 
; b 2,59.
; 
; 
; с 3,66.
Відповідь, ? = 105°, b 2,59, с 3,66.
Самостійне розв’язування задач
Дано сторону і два кути трикутника. Знайдіть третій кут та інші дві сторони трикутника, якщо:
Варіант 1: а = 20, ? = 75°, ? = 60°;
Варіант 2: а = 35, ? = 40°, ? = 120°.
Варіант 1
Розв’язання
? = 180° – ? – ? = 180° – 75° – 60° = 45°.
; 
; 
; b 17,9.
; 
; 
; с 14,6.
Відповідь. ? = 45°, b 17,9, с 14,6.
Варіант 2
Розв’язання
? = 180° – ? – ? = 180° – 40° – 120° = 20°.
; 
; 
; b 65,8.
; 
; 
; c 88,6.
Відповідь, ? = 20°, b 65,8, c 88,6.
2-й випадок
Нехай задано сторони а і b та кут між ними С. Треба знайти сторону с та кути В і А. Сторону с знайдемо за теоремою косинусів: с2 = a2 + b2 – 2ab cosC, c = 
.
Кут А можна знайти за теоремою косинусів:
A2 = b2 + c2 – 2bccosA, звідси 
.
Кут А можна знайти за теоремою синусів:
, звідси 
.
Тоді B = 180° – A – C.
Колективне розв’язування задач
Дано дві сторони трикутника b = 14, с = 10 і кут між ними? = 145°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.
Розв’язання
A2 = b2 + c2 – 2bc cos?; a2 = 196 + 100 – 2 • 14 • 10 • cos145° 296 + 280 • 0,8192 296 + 229,36 = 525,36; а 22,9.
; 
; sin? 0,3507; ? 21°.
? = 180° – ? – ? 180° – 145° – 21° = 14°.
Відповідь, а 22,9, ? 21°, ? 14°.
Самостійне розв’язування задач
Дано дві сторони трикутника і кут між ними. Знайдіть інші два кути та третю сторону трикутника, якщо:
Варіант 1: а = 7, b = 23, ? = 130°;
Варіант 2: b = 9, с = 17, ? = 95°.
Варіант 1
Розв’язання
С2 = а2 + b2 – 2ab cos? = 72 + 232 – 2 • 7 • 23 • cos130°49 + 529 – 322 • (-0,64) = 578 + 206,08 = 784,08; с 
28.
A2 = b2 + c2 – 2bccos?; 72 = 232 + 282 – 2 • 23 • 28 • cos?;
49 = 529 + 784 – 1288cos?; 1288cos? = 1264; cos? 0,98; ? 11°.
Тоді? = 180° – ? – ? 180° – 130° – 11° = 39°.
Відповідь. с 28, ? 11°, ? 39°.
Варіант 2
Розв’язання
A2 = b2 + c2 – 2bc cos? = 92 + 172 – 2 • 9 • 17 • cos95° 81 + 289 – 306 • (-0,09) = 370 + 27,54 = 397,54; a 
19,9.
B2 = a2 + c2 – 2accos?; 92 = 397,54 + 172 – 2 • 19,9 • 17 • cos?;
81 = 686,54 – 676,6cos?; 676,6cos? = 605,54; cos? 0,895; ? 26°.
Тоді? = 180° – ? – ? = 180° – 26° – 95° = 59°.
Відповідь, а 19,9, ? 26°, ? 59°.
3-й випадок
Нехай задано три сторони а, b, с трикутника ABC. Треба знайти кути А, В, С. За теоремою косинусів знайдемо кут А:
А2 = b2 + с2 – 2bc cosA, звідси .
Тоді за теоремою синусів знайдемо кут В: 
, звідси 
. І, нарешті, С = 180° – (A + В).
Колективне розв’язування задач
Дано три сторони трикутника a = 1, b = 3, с = 4. Знайдіть його кути.
Розв’язання
А2 = b2 + с2 – 2bc cos?; 4 = 9 + 16 – 24cos?; 24cos? = 21; cos? = 
= 0,875; ? 29°.
; 
; sin? 
0,7272; ? 47°.
? = 180° – ? – ? 180° – 29° – 47o = 104°.
Відповідь, ? 29°, ? 47°, ? 104°.
Самостійне розв’язування задач
Дано три сторони трикутника. Знайдіть його кути, якщо:
Варіант 1: a = 15, b = 24, с = 18;
Варіант 2: a = 23, b = 17, с = 39.
Варіант 1
Розв’язання
A2 = b2 + c2 – 2bc cos?; 225 = 576 + 324 – 864cos?; cos? = 
0,7813; ? 38,62 39°.
; 
; 
; 
; ? 87°.
? = 180° – ? – ? 180° – 39° – 87° = 54°.
Відповідь. ? 39°, ? 87°, ? 54°.
Варіант 2
Розв’язання
A2 = b2 + c2 – 2bc cos?; 529 = 289 + 1521 – 1326cos?; 
0,9661; ? 15°.
; 
; 
; sin? 0,1913; ? 11°.
? = 180° – ? – ? 180° – 15° – 11° = 154°.
Відповідь, ? 15°, ? 11°, ? 154°.
4-й випадок
Нехай задано дві сторони а і b та кут А трикутника ABC. Треба знайти кути В і С та сторону с.
За теоремою синусів маємо .
Якщо bsinA > a, то задача не має розв’язків (оскільки sin? > 1, що неможливо).
Якщо bsinA = a, то B = 90°, тоді C = 90° – A, c = bcosA.
Якщо bsinA < a, тоді існують два кути, синуси яких дорівнюють 
: один із цих кутів гострий, а другий – тупий.
Якщо a > b, то A > B. A, оскільки, у трикутника не може бути два тупих кути, то кут В гострий і розв’язок єдиний.
Якщо а < b, то існують два кути В1 і В2 (B2 = 180° – B1), синуси яких дорівнюють . У цьому випадку задача має два розв’язки:
C1 = 180° – A – B1, 
;
C2 = 180° – A – B2, 
.
Колективне розв’язування задач
1) У трикутнику дано дві сторони а = 2, b = 4 і кут?, який протилежний до однієї із сторін, становить 60°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.
Розв’язання
; 
; sin? = 
= 2sin60° = 2 • 
= 
> 1.
Задача розв’язків не має.
Відповідь. Розв’язків немає.
2) Дано дві сторони трикутника: а = 6, b = 8 і кут?, який протилежний до однієї із сторін, становить 30°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.
Розв’язання
; 
; sin? = 
0,6667;
? 42° або? 180° – 42° = 138°.
Якщо? 42°, тоді? = 180° – ? – ? 180° – 30° – 42° = 108° і ; 
; 
.
Якщо? = 138°, тоді? = 180° – ? – ? 180° – 30° – 138° = 12° і ; 
; 
.
Відповідь. ? 42°, ? 108°, с 11,4 або? 138°, ? 12°, с 2,5.
IV. Домашнє завдання
Розв’язати трикутники:
А) с = 14, ? = 64°, ? = 48°;
Б) а = 24, с = 18, ? = 15°;
В) а = 55, b = 21, с = 38;
Г) а = 32, с = 23, ? = 152°.
V. Підбиття підсумків уроку
Запитання до класу
1. Що означає розв’язати трикутник? 2. Які є основні типи задач на розв’язування трикутників?
(2 votes, average: 3,50 out of 5)