Predmety



Основні задачі на розв’язування трикутників

УРОК 10

Тема. Основні задачі на розв’язування трикутників

Мета уроку: ознайомити учнів з основними задачами розв’язування трикутників.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: описують основні випадки розв’язування трикутників та алгоритми їх розв’язування.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Фронтальне опитування

1) Сформулюйте теорему косинусів. 2) Як, користуючись теоремою косинусів, можна знайти кути, якщо відомі довжини сторін трикутника? 3) Як, знаючи лише довжини сторін трикутника, визначити вид трикутника (за кутами)? 4) Сформулюйте теорему синусів. 5) Як можна знайти радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо відомі сторона трикутника і протилежний до неї кут? 6) Сформулюйте теорему про співвідношення між кутами трикутника і протилежними сторонами. 7) Сформулюйте теорему про співвідношення між сторонами трикутника і протилежними кутами.

Правильність виконання задачі з домашнього завдання перевірити за записами на дошці, зробленими до початку уроку.

Розв’язання

A2 = b2 + c2 – 2bc cosA; 49 = 4 + 64 – 2 • 2 • 8 • cosA; 49 = 68 – 32cosA;

32cosA = 19; cosA =  Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників0,594;  Основні задачі на розвязування трикутниківA  Основні задачі на розвязування трикутників 54°.

B2


= a2 + c2 – 2ac cosB; 4 = 49 + 64 – 2 • 7 • 8 • cosB; 4 = 113 – 112cosB;

112cosB = 109; cosB =  Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників0,973;  Основні задачі на розвязування трикутниківB  Основні задачі на розвязування трикутників 13°.

 Основні задачі на розвязування трикутниківC = 180° –  Основні задачі на розвязування трикутниківA –  Основні задачі на розвязування трикутниківB  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 54° – 13° = 113°.

Відповідь.  Основні задачі на розвязування трикутниківA  Основні задачі на розвязування трикутників 54°,  Основні задачі на розвязування трикутниківB  Основні задачі на розвязування трикутників 13°,  Основні задачі на розвязування трикутниківC  Основні задачі на розвязування трикутників113°.

ІІ. Аналіз самостійної роботи

ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Визначення трикутника за трьома основними елементами

З ознак рівності трикутників випливає, що трикутник визначається трьома основними елементами, серед яких хоча б один лінійний. Розв’язати трикутник означає за його трьома даними основними елементами знайти три інші елементи.

Із шести основних елементів трикутника по три елементи можуть сполучатися такі:

1) сторона і два прилеглі кути; 2) дві сторони і кут між ними; 3) дві сторони і кут, протилежний одній із сторін; 4) три сторони.

Чотири випадки розв’язування трикутників

Відповідно до цього розглянемо чотири випадки розв’язування трикутників.

1-й випадок

Нехай задано сторону а і кути А і В трикутника ABC. Треба знайти кут С і сторони b і с трикутника ABC.

 Основні задачі на розвязування трикутниківС = 180° – ( Основні задачі на розвязування трикутниківA +  Основні задачі на розвязування трикутниківВ).

За теоремою синусів  Основні задачі на розвязування трикутників, знайдемо  Основні задачі на розвязування трикутників.

За теоремою синусів  Основні задачі на розвязування трикутників, знайдемо

 Основні задачі на розвязування трикутників=  Основні задачі на розвязування трикутників=  Основні задачі на розвязування трикутників.

Колективне розв’язування задач

Дано сторону а = 5 і два кути трикутника? = 30°, ? = 45°. Знайдіть третій кут та інші дві сторони трикутника.

Розв’язання

? = 180° – ? – ? = 180° – 30° – 45° = 105°.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; b  Основні задачі на розвязування трикутників 2,59.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; с  Основні задачі на розвязування трикутників 3,66.

Відповідь, ? = 105°, b  Основні задачі на розвязування трикутників 2,59, с  Основні задачі на розвязування трикутників 3,66.

Самостійне розв’язування задач

Дано сторону і два кути трикутника. Знайдіть третій кут та інші дві сторони трикутника, якщо:

Варіант 1: а = 20, ? = 75°, ? = 60°;

Варіант 2: а = 35, ? = 40°, ? = 120°.

Варіант 1

Розв’язання

? = 180° – ? – ? = 180° – 75° – 60° = 45°.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; b  Основні задачі на розвязування трикутників 17,9.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; с  Основні задачі на розвязування трикутників 14,6.

Відповідь. ? = 45°, b  Основні задачі на розвязування трикутників 17,9, с  Основні задачі на розвязування трикутників 14,6.

Варіант 2

Розв’язання

? = 180° – ? – ? = 180° – 40° – 120° = 20°.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; b  Основні задачі на розвязування трикутників 65,8.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; c  Основні задачі на розвязування трикутників 88,6.

Відповідь, ? = 20°, b  Основні задачі на розвязування трикутників 65,8, c  Основні задачі на розвязування трикутників 88,6.

2-й випадок

Нехай задано сторони а і b та кут між ними С. Треба знайти сторону с та кути В і А. Сторону с знайдемо за теоремою косинусів: с2 = a2 + b2 – 2ab cosC, c =  Основні задачі на розвязування трикутників.

Кут А можна знайти за теоремою косинусів:

A2 = b2 + c2 – 2bccosA, звідси  Основні задачі на розвязування трикутників.

Кут А можна знайти за теоремою синусів:

 Основні задачі на розвязування трикутників, звідси  Основні задачі на розвязування трикутників.

Тоді  Основні задачі на розвязування трикутниківB = 180° –  Основні задачі на розвязування трикутниківA –  Основні задачі на розвязування трикутниківC.

Колективне розв’язування задач

Дано дві сторони трикутника b = 14, с = 10 і кут між ними? = 145°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.

Розв’язання

A2 = b2 + c2 – 2bc cos?; a2 = 196 + 100 – 2 • 14 • 10 • cos145°  Основні задачі на розвязування трикутників 296 + 280 • 0,8192 Основні задачі на розвязування трикутників  Основні задачі на розвязування трикутників 296 + 229,36 = 525,36; а  Основні задачі на розвязування трикутників 22,9.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; sin?  Основні задачі на розвязування трикутників 0,3507; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 21°.

? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 145° – 21° = 14°.

Відповідь, а  Основні задачі на розвязування трикутників 22,9, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 21°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 14°.

Самостійне розв’язування задач

Дано дві сторони трикутника і кут між ними. Знайдіть інші два кути та третю сторону трикутника, якщо:

Варіант 1: а = 7, b = 23, ? = 130°;

Варіант 2: b = 9, с = 17, ? = 95°.

Варіант 1

Розв’язання

С2 = а2 + b2 – 2ab cos? = 72 + 232 – 2 • 7 • 23 • cos130° Основні задачі на розвязування трикутників49 + 529 – 322 • (-0,64) = 578 + 206,08 = 784,08; с  Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників  Основні задачі на розвязування трикутників 28.

A2 = b2 + c2 – 2bccos?; 72 = 232 + 282 – 2 • 23 • 28 • cos?;

49 = 529 + 784 – 1288cos?; 1288cos? = 1264; cos?  Основні задачі на розвязування трикутників 0,98; ?  Основні задачі на розвязування трикутників11°.

Тоді? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 130° – 11° = 39°.

Відповідь. с  Основні задачі на розвязування трикутників28, ?  Основні задачі на розвязування трикутників11°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників39°.

Варіант 2

Розв’язання

A2 = b2 + c2 – 2bc cos? = 92 + 172 – 2 • 9 • 17 • cos95°  Основні задачі на розвязування трикутників81 + 289 – 306 • (-0,09) = 370 + 27,54 = 397,54; a  Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників19,9.

B2 = a2 + c2 – 2accos?; 92 = 397,54 + 172 – 2 • 19,9 • 17 • cos?;

81 = 686,54 – 676,6cos?; 676,6cos? = 605,54; cos?  Основні задачі на розвязування трикутників 0,895; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 26°.

Тоді? = 180° – ? – ? = 180° – 26° – 95° = 59°.

Відповідь, а  Основні задачі на розвязування трикутників19,9, ?  Основні задачі на розвязування трикутників26°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 59°.

3-й випадок

Нехай задано три сторони а, b, с трикутника ABC. Треба знайти кути А, В, С. За теоремою косинусів знайдемо кут А:

А2 = b2 + с2 – 2bc cosA, звідси  Основні задачі на розвязування трикутників.

Тоді за теоремою синусів знайдемо кут В:  Основні задачі на розвязування трикутників, звідси  Основні задачі на розвязування трикутників. І, нарешті, С = 180° – (A + В).

Колективне розв’язування задач

Дано три сторони трикутника a = 1, b = 3, с = 4. Знайдіть його кути.

Розв’язання

А2 = b2 + с2 – 2bc cos?; 4 = 9 + 16 – 24cos?; 24cos? = 21; cos? =  Основні задачі на розвязування трикутників= 0,875; ?  Основні задачі на розвязування трикутників29°.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; sin?  Основні задачі на розвязування трикутників  Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників 0,7272; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 47°.

? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 29° – 47o = 104°.

Відповідь, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 29°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 47°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 104°.

Самостійне розв’язування задач

Дано три сторони трикутника. Знайдіть його кути, якщо:

Варіант 1: a = 15, b = 24, с = 18;

Варіант 2: a = 23, b = 17, с = 39.

Варіант 1

Розв’язання

A2 = b2 + c2 – 2bc cos?; 225 = 576 + 324 – 864cos?; cos? =  Основні задачі на розвязування трикутників  Основні задачі на розвязування трикутників 0,7813; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 38,62  Основні задачі на розвязування трикутників 39°.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 87°.

? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 39° – 87° = 54°.

Відповідь. ?  Основні задачі на розвязування трикутників 39°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 87°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників 54°.

Варіант 2

Розв’язання

A2 = b2 + c2 – 2bc cos?; 529 = 289 + 1521 – 1326cos?;  Основні задачі на розвязування трикутників  Основні задачі на розвязування трикутників 0,9661; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 15°.

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; sin?  Основні задачі на розвязування трикутників 0,1913; ?  Основні задачі на розвязування трикутників 11°.

? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників180° – 15° – 11° = 154°.

Відповідь, ?  Основні задачі на розвязування трикутників15°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників11°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників154°.

4-й випадок

Нехай задано дві сторони а і b та кут А трикутника ABC. Треба знайти кути В і С та сторону с.

За теоремою синусів  Основні задачі на розвязування трикутників маємо  Основні задачі на розвязування трикутників.

Якщо bsinA > a, то задача не має розв’язків (оскільки sin? > 1, що неможливо).

Якщо bsinA = a, то  Основні задачі на розвязування трикутниківB = 90°, тоді  Основні задачі на розвязування трикутниківC = 90° –  Основні задачі на розвязування трикутниківA, c = bcosA.

Якщо bsinA < a, тоді існують два кути, синуси яких дорівнюють  Основні задачі на розвязування трикутників: один із цих кутів гострий, а другий – тупий.

Якщо a > b, то  Основні задачі на розвязування трикутниківA >  Основні задачі на розвязування трикутниківB. A, оскільки, у трикутника не може бути два тупих кути, то кут В гострий і розв’язок єдиний.

Якщо а < b, то існують два кути В1 і В2 ( Основні задачі на розвязування трикутниківB2 = 180° –  Основні задачі на розвязування трикутниківB1), синуси яких дорівнюють  Основні задачі на розвязування трикутників. У цьому випадку задача має два розв’язки:

 Основні задачі на розвязування трикутниківC1 = 180° –  Основні задачі на розвязування трикутниківA –  Основні задачі на розвязування трикутниківB1,  Основні задачі на розвязування трикутників;

 Основні задачі на розвязування трикутниківC2 = 180° –  Основні задачі на розвязування трикутниківA –  Основні задачі на розвязування трикутниківB2,  Основні задачі на розвязування трикутників.

Колективне розв’язування задач

1) У трикутнику дано дві сторони а = 2, b = 4 і кут?, який протилежний до однієї із сторін, становить 60°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.

Розв’язання

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; sin? =  Основні задачі на розвязування трикутників= 2sin60° = 2 •  Основні задачі на розвязування трикутників =  Основні задачі на розвязування трикутників > 1.

Задача розв’язків не має.

Відповідь. Розв’язків немає.

2) Дано дві сторони трикутника: а = 6, b = 8 і кут?, який протилежний до однієї із сторін, становить 30°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.

Розв’язання

 Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників; sin? =  Основні задачі на розвязування трикутників Основні задачі на розвязування трикутників0,6667;

?  Основні задачі на розвязування трикутників 42° або?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 42° = 138°.

Якщо?  Основні задачі на розвязування трикутників 42°, тоді? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 30° – 42° = 108° і  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників.

Якщо? = 138°, тоді? = 180° – ? – ?  Основні задачі на розвязування трикутників 180° – 30° – 138° = 12° і  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників;  Основні задачі на розвязування трикутників.

Відповідь. ?  Основні задачі на розвязування трикутників 42°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників108°, с  Основні задачі на розвязування трикутників11,4 або?  Основні задачі на розвязування трикутників138°, ?  Основні задачі на розвязування трикутників12°, с  Основні задачі на розвязування трикутників2,5.

IV. Домашнє завдання

Розв’язати трикутники:

А) с = 14, ? = 64°, ? = 48°;

Б) а = 24, с = 18, ? = 15°;

В) а = 55, b = 21, с = 38;

Г) а = 32, с = 23, ? = 152°.

V. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Що означає розв’язати трикутник? 2. Які є основні типи задач на розв’язування трикутників?


1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...


Основні задачі на розв’язування трикутників - Плани-конспекти уроків по математиці